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\chapter{数学}
\section{数学符号和公式}
《写作规范》没有对数学符号和公式做具体要求，这里我们让数学符号遵循 GB/T 3102.11—1993《物理科学和技术中使用的数学符号》
\footnote{原 GB 3102.11—1993，自 2017 年 3 月 23 日起，该标准转为推荐性标准。}。
该标准参照采纳 ISO 31-11:1992 \footnote{目前已更新为 ISO 80000-2:2019。}，
但是与 \TeX{} 默认的美国数学学会（AMS）的符号习惯有所区别。
具体地来说主要有以下差异：
\begin{enumerate}
\item 大写希腊字母默认为斜体，如
\begin{equation*}
\Gamma \Delta \Theta \Lambda \Xi \Pi \Sigma \Upsilon \Phi \Psi \Omega.
\end{equation*}
注意有限增量符号 $\increment$ 固定使用正体，模板提供了 \cs{increment} 命令。
\item 小于等于号和大于等于号使用倾斜的字形 $\le$、$\ge$。
\item 积分号使用正体，比如 $\int$、$\oint$。
\item 行间公式积分号的上下限位于积分号的上下两端，比如
\begin{equation*}
\int_a^b f(x) \dif x.
\end{equation*}
行内公式为了版面的美观，统一居右侧，如 $\int_a^b f(x) \dif x$ 。
\item
偏微分符号 $\partial$ 使用正体。
\item
省略号 \cs{dots} 按照中文的习惯固定居中，比如
\begin{equation*}
1, 2, \dots, n \quad 1 + 2 + \dots + n.
\end{equation*}
\item
实部 $\Re$ 和虚部 $\Im$ 的字体使用罗马体。
\end{enumerate}
以上数学符号样式的差异可以在模板中统一设置。
但是还有一些需要用户在写作时进行处理：
\begin{enumerate}
\item 数学常数和特殊函数名用正体，如
\begin{equation*}
\uppi = 3.14\dots; \quad
\symup{i}^2 = -1; \quad
\symup{e} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n.
\end{equation*}
\item 微分号使用正体，比如 $\dif y / \dif x$。
\item 向量、矩阵和张量用粗斜体（\cs{symbf}），如 $\symbf{x}$、$\symbf{\Sigma}$、$\symbfsf{T}$。
\item 自然对数用 $\ln x$ 不用 $\log x$。
\end{enumerate}
模板中使用 \pkg{unicode-math} 宏包配置数学字体。
该宏包与传统的 \pkg{amsfonts}、\pkg{amssymb}、\pkg{bm}、
\pkg{mathrsfs}、\pkg{upgreek} 等宏包\emph{不}兼容。
本模板作了处理，用户可以直接使用 \cs{bm}, \cs{mathscr},
\cs{upGamma} 等命令。
关于数学符号更多的用法，参见 \pkg{unicode-math} 宏包的使用说明和符号列表
\pkg{unimath-symbols}。
\section{量和单位}
宏包 \pkg{siunitx} 提供了更好的数字和单位支持：
\begin{itemize}
\item \num{12345.67890}
\item \num{.3e45}
\item \si{kg.m.s^{-1}}
\item \si{\micro\meter} $\si{\micro\meter}$
\item \si{\ohm} $\si{\ohm}$
\item \numlist{10;20}
\item \numlist{10;20;30}
\item \SIlist{0.13;0.67;0.80}{\milli\metre}
\item \numrange{10}{20}
\item \SIrange{10}{20}{\degreeCelsius}
\end{itemize}
\section{定理和证明}
示例文件中使用 \pkg{amsthm} 宏包配置了定理、引理和证明等环境。
用户也可以使用 \pkg{ntheorem} 宏包。\par
公式引用示例：见式~\ref{eq:example}
\begin{definition}
If the integral of function $f$ is measurable and non-negative, we define
its (extended) \textbf{Lebesgue integral} by
\begin{equation}
\int f = \sup_g \int g,
\end{equation}
where the supremum is taken over all measurable functions $g$ such that
$0 \le g \le f$, and where $g$ is bounded and supported on a set of
finite measure.
\end{definition}
\begin{assumption}
The communication graph is strongly connected.
\end{assumption}
\begin{example}
Simple examples of functions on $\mathbb{R}^d$ that are integrable
(or non-integrable) are given by
\begin{equation}
f_a(x) =
\begin{cases}
|x|^{-a} & \text{if } |x| \le 1, \\
0 & \text{if } x > 1.
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq:example}
F_a(x) = \frac{1}{1 + |x|^a}, \qquad \text{all } x \in \mathbb{R}^d.
\end{equation}
Then $f_a$ is integrable exactly when $a < d$, while $F_a$ is integrable
exactly when $a > d$.
\end{example}
\begin{lemma}[Fatou]
Suppose $\{f_n\}$ is a sequence of measurable functions with $f_n \geq 0$.
If $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$ for a.e. $x$, then
\begin{equation}
\int f \le \liminf_{n \to \infty} \int f_n.
\end{equation}
\end{lemma}
\begin{remark}
We do not exclude the cases $\int f = \infty$,
or $\liminf_{n \to \infty} f_n = \infty$.
\end{remark}
\begin{corollary}
Suppose $f$ is a non-negative measurable function, and $\{f_n\}$ a sequence
of non-negative measurable functions with
$f_n(x) \le f(x)$ and $f_n(x) \to f(x)$ for almost every $x$. Then
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \int f_n = \int f.
\end{equation}
\end{corollary}
\begin{proposition}
Suppose $f$ is integrable on $\mathbb{R}^d$. Then for every $\epsilon > 0$:
\begin{enumerate}
\renewcommand{\theenumi}{\roman{enumi}}
\item There exists a set of finite measure $B$ (a ball, for example) such
that
\begin{equation}
\int_{B^c} |f| < \epsilon.
\end{equation}
\item There is a $\delta > 0$ such that
\begin{equation}
\int_E |f| < \epsilon \qquad \text{whenever } m(E) < \delta.
\end{equation}
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{theorem}
Suppose $\{f_n\}$ is a sequence of measurable functions such that
$f_n(x) \to f(x)$ a.e. $x$, as $n$ tends to infinity.
If $|f_n(x)| \le g(x)$, where $g$ is integrable, then
\begin{equation}
\int |f_n - f| \to 0 \qquad \text{as } n \to \infty,
\end{equation}
and consequently
\begin{equation}
\int f_n \to \int f \qquad \text{as } n \to \infty.
\end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}
Trivial.
\end{proof}
\newtheorem*{axiomofchoice}{Axiom of choice}
\begin{axiomofchoice}
Suppose $E$ is a set and ${E_\alpha}$ is a collection of
non-empty subsets of $E$. Then there is a function $\alpha
\mapsto x_\alpha$ (a ``choice function'') such that
\begin{equation}
x_\alpha \in E_\alpha,\qquad \text{for all }\alpha.
\end{equation}
\end{axiomofchoice}
\newtheorem{observation}{Observation}
\begin{observation}
Suppose a partially ordered set $P$ has the property
that every chain has an upper bound in $P$. Then the
set $P$ contains at least one maximal element.
\end{observation}
\begin{proof}[A concise proof]
Obvious.
\end{proof}
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