1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
|
\input my.tex
\input incpic
\font\sipky=sipky
\fontcharplace{\sipky}{`\A}{
\fontmark rc 0 1 {\strut a}
\fontmark rc 0 0 {\strut b}
\fontmark rc 1 0 {\strut c}
\fontmark rc 2 0 {\strut d}
}
\podtitul 1: Hlasov n¡ a la Condorcet: Postupn‚ vˆt¨inov‚ porovn v n¡
V˜bˆr z dvojice, kde mus¡ b˜t vybr n jeden ze dvou
kandid t–, je univers lnˆ vy©e¨en vˆt¨inovou volbou. Celkov˜
pocit n m napov¡d , ‘e jedinˆ takov˜ v˜bˆr je spravedliv˜,
a teorie potvrzuje, ‘e nelze postupovat jinak, pokud chceme
{ \item {(i)} spravedlnost: ‘ dn p©edem ur‡en diskriminace voli‡– ani
kandid t–, a
\item {(ii)} odolnost proti pou‘it¡ strategi¡: ka‘d˜
voli‡ m motiv volit svobodnˆ -- ‘ dn˜ osamˆl˜ voli‡ (bez
£‡asti v nˆjak‚ koalici) nem–‘e £spˆ¨nˆ ovliv¤ovat pr–bˆh
a v˜sledek voleb.}
Tato charakteristika je zn ma jako May–v
teor‚m (May [1952]).
Pokud je t©eba vybrat z v¡ce ne‘ dvou kandid t–, je obvykle
situace ponˆkud slo‘itˆj¨¡. Vˆt¨inov‚ porovn v n¡ m–‘e
poslou‘it k vytvo©en¡ bin rn¡ relace, tzv. vˆt¨inov‚ relace,
kter vyjad©uje kolektivn¡ preference mezi p ry kandid t–.
Bohu‘el, v t‚to relaci se mohou objevit cykly, tato
skute‡nost je naz˜v na "Condorcet–v paradox". P©edpokl dejme
t©i voli‡e $\{1,2,3\} = N$, kte©¡ maj¡ n sleduj¡c¡ preference:
\vskip 1cm
\centerline {\hbox {
\vbox{
\offinterlineskip
\halign
{\strut \ # \quad & \vrule \quad # \quad & # \quad & # \ \cr
voli‡ & 1 & 2 & 3 \cr
\noalign {\hrule}
vrchol & a & c & b \cr
& b & a & c \cr
dno & c & b & a \cr
}} }}
\vskip 1 cm
Pokud se vytvo©¡ cykly, nemus¡ ve vˆt¨inov‚m porovn v n¡
dvojic existovat Condorcet–v v¡tˆz: ka‘d˜ kandid t je pora‘en
nejm‚nˆ jedn¡m jin˜m kandid tem ve vˆt¨inov‚m porovn v n¡.
Takto m–‘eme nazvat Condorcetov˜m v¡tˆzem kandid ta $a$, kter˜
p©i porovn v n¡ s kter˜mkoliv jin˜m kandid tem $x$ z¡sk
nejm‚nˆ stejnˆ hlas– jako jeho protivn¡k.
€etnost v˜skytu paradoxu je p©ekvapivˆ vysok .
P©edpokl dejme, ‘e voli‡i maj¡ uspo© dan‚ preference a ‘e
v˜skyt jednotliv˜ch uspo© d n¡ kandid t– je rovnomˆrnˆ
a nez visle rozlo‘en, pak pravdˆpodobnost, ‘e ‘ dn˜ kandid t
nen¡ Condorcetov˜m v¡tˆzem m–‘e b˜t spo‡tena nebo
p©inejmen¨¡m odhadnuta.
Pokud ‘ dn˜ Condorcet–v v¡tˆz neexistuje, hled se
zpravidla takov˜ kandid t, kter˜ by jej nahradil (a m pro to
rozumn‚ d–vody). Jako p©¡kld lze uv‚st zn m˜ postup u‘¡van˜
v Kongresu USA p©i hlasov n¡ mezi n vrhem z kona a jeho
p©¡davky (zn m˜ jako tzv. n vrhov {\sl (amendment)} procedura, viz
Riker [1982], str. 70, pro podrobnosti).
Hlasov n¡ postupn˜m vylu‡ov n¡m {\sl (succesive elimination)}:
\vskip 1cm
\inspicture
\vskip 1cm
Neprve se vˆt¨inou rozhodne mezi $a$ a $b$, potom se v¡tˆz
porovn v s $c$, atd. V p©¡padˆ nerozhodnutelnosti hlasov n¡
(rem¡za) kandid t zdola prohr v .
V n vrhov‚ procedu©e $a$ znamen p©¡davek k pozmˆ¤ovac¡mu
n vrhu, $b$ p©¡davek k p©¡davku, $c$ je pozmˆ¤ovac¡ n vrh
a $d$ platn˜ z kon. Samoz©ejmˆ po©ad¡ v˜bˆru m sv–j v˜znam:
kandid ti nejsou pova‘ov ni za rovnocenn‚ (©¡k me, ‘e
hlasovac¡ pravidlo nen¡ neutr ln¡).
\vfill\eject
\def\*{$^*$}
\def\mez{\hskip 2ex$\vdots$}
\centerline{ \hbox {
\vbox{\offinterlineskip
\halign
{ \quad # \ & \vrule height 2em depth 1em \qquad # \quad & # \quad
& # \quad & # \quad & # & \ # \ & # \quad \cr
\hskip4em \rlap {\raise 1ex \hbox {po‡et}} \leavevmode \lower 1ex
\hbox {voli‡–} & \ 3 & \ 5 & \ 7 & \ 9 & \ 11 && limit \cr
\noalign {\vskip -1.5em}
\rlap {\raise 1ex \hbox {po‡et}} \leavevmode \lower 1ex
\hbox {kandid t–} &\cr
\noalign {\hrule}
\hskip3em 3 & .056 & .069 & .075 & .078 & .080 &.....& .088 \cr
\hskip3em 4 & .111 & .139 & .150 & .156 & .160 &.....& .176 \cr
\hskip3em 5 & .160 & .200 & .215 & .230 & .251 &.....& .251 \cr
\hskip3em 6 & .202 & .255\* & .258\* & .284\* & .294\* &.....& .315 \cr
\hskip3em 7 & .239\* & .299\* & .305\* & .342\* & .343\* &.....& .369 \cr
\noalign {\vskip -1em}
&\mez &\mez &\mez &\mez &\mez &&\mez \cr
\noalign {\vskip -1em}
\hskip2.5em limit & \ 1 & \ 1 & \ 1 & \ 1 & \ 1 &.....& \ 1 \cr
}}}}
\vskip .5cm
\centerline {—daje zna‡en‚ \* jsou odhadnut‚}
\vskip 3mm
\centerline { Tabulka 1: Pravdˆpodobnost neexistence Condorcetova v¡tˆze}
\centerline { Zdroj: Fishburn [1973], str. 95.}
Tato metoda v‘dy spl¤uje Condorcet–v axiom: jestli‘e a je
Condorcet–v v¡tˆz, vyhraje (nehledˆ na pravdˆpodobnost
rem¡z). Ve skute‡nosti je to d–sledek vˆt¨inov‚ho porovn v n¡
v daleko ¨ir¨¡m smyslu:
Smithova podm¡nka: jestli‘e se mno‘ina A kandid t– rozdˆl¡
na dvˆ disjuktn¡ podmno‘iny $B_1,\, B_2$ a ka‘d˜ kandid t $b_1$ z $B_1$
poraz¡ (bez rem¡z) ka‘d‚ho $b_2$ z $B_2$, potom v¡tˆz mus¡ b˜t
z mno‘iny $B_1$.
V¨echny hlasovac¡ metody odvozen‚ z bin rn¡ho stromu
(v¨echny p©edv dˆn‚ v t‚to ‡ sti jsou tohoto typu) vyhovuj¡
Smithovˆ podm¡nce. Bohu‘el nˆkter‚ z nich poru¨uj¡
d–le‘itˆj¨¡ p‘adavky kolektivn¡ho v˜bˆru, p©edev¨¡m
jednomyslnost neboli Paretovo krit‚rium:
Paretovo krit‚rium: jestli‘e ka‘d˜ voli‡ d v p©ednost
kandid tu $a$ p©ed $b$, kandid t $b$ nem–‘e b˜t vybr n.
Hlasov n¡ postupn˜m vylu‡ov n¡m m–‘e vybrat Paretova
hor¨¡ho kandid ta.
P©edpokl dejme preference voli‡– n sledovnˆ
\vskip 1cm
\centerline {\hbox {
\vbox{
\offinterlineskip
\halign
{\strut \ # \quad & \vrule \quad # \quad & # \quad & # \ \cr
voli‡ & 1 & 2 & 3 \cr
\noalign {\hrule}
vrchol & b & a & c \cr
& a & d & b \cr
& d & c & a \cr
dno & c & b & d \cr
}} }}
\vskip 1 cm
potom postupn˜ v˜bˆr v po©ad¡ $abcd$ postupuje
\vskip 1cm
\fontcharplace{\sipky}{`\A}{
\fontmark cc 0 1 {\strut a}
\fontmark rc 0 0 {\strut b}
\fontmark rc 1 0 {\strut c}
\fontmark rc 2 0 {\strut d}
\fontmark cd 1 1 {\strut b}
\fontmark cd 2 1 {\strut c}
\fontmark lc 3 1 {\strut d}
}
\inspicture
\vskip 1cm
A‡koliv $a$ je Paret–v lep¨¡ kandid t {\sl (Pareto superior)}, ‡ili
je jednomyslnˆ preferov n oproti $d$.
V hlasov n¡ postupn˜m v˜bˆrem m kandid t, kter˜ vstupuje
posledn¡ (jmenovitˆ $d$), o‡ividnou v˜hodu: m–‘e vyhr t
pora‘en¡m jenom jednoho (dob©e vybran‚ho) oponenta (toto
znamen , ‘e nez le‘¡ na preferenc¡m v–‡i ostatn¡m
kandid t–m).
K zachov n¡ spravedlnosti je mo‘n‚ sestavit dvˆ symetrick‚
hlasov n¡ postupn˜m v˜bˆrem n sledovnˆ:
\bye
a____________________________________
/ / / \
/ / / \
b/ c/ d/ \
/
/
d____________________________________/
/ / /
/ / /
c/ b/ a/
Tabulka 2: Paraleln¡ v˜bˆrov metoda
Nyn¡ bˆ‘¡ dvˆ paraleln¡ v˜bˆrov‚ procedury. Dva finalist‚
kone‡nˆ soutˆ‘¡ o v¡tˆzstv¡.
Je dobr‚ cvi‡en¡ ovˆ©it si, ‘e p©i tomto postupu v¡tˆz
nem–‘e b˜t Paret–v hor¨¡ kandid t {\sl (Pareto inferior)}. Pro
jednoduchost p©edpokl dejme, ‘e v¨echny dvojice je vˆt¨inov‚
porovn v n¡ jednozna‡n‚ (pro ka‘dou dvojici $x,\, y$ existuje
jednozna‡n vˆt¨ina preferuj¡c¡ $x$ p©ed $y$ nebo naopak $y$ p©ed
$x$). Jestli‘e je zde Condorcet–v v¡tˆz, mus¡ z©ejmˆ vyhr t.
Pokud toto neplat¡, zv¡tˆz¡ Copeland–v v¡tˆz, kandid t, kter˜
vyhraje pr vˆ dvakr t (a prohraje jednou) v soutˆ‘¡ch dvojic.
Mohou se zde vyskytnout nejv˜¨e dva Copelandovi v¡tˆzov‚.
Ovˆ©te si, ‘e ‘ dn˜ z nich nem–‘e b˜t Paret–v hor¨¡ kandid t.
Pak si v¨imnˆte, ‘e pokud v¡tˆz paraleln¡ho v˜bˆru --- ©eknˆme
$x$ --- nen¡ Copeland–v v¡tˆz, pak mus¡ porazit alespo¤ jednoho
Copelandova v¡tˆze a to zaru‡uje, ‘e $x$ nen¡ Paret–v hor¨¡
kandid t.
Ale bˆda, paraleln¡ v˜bˆr m jinou perverzn¡ vlastnost,
kter jej znev˜hod¤uje oproti n sleduj¡c¡m metod m:
Algoritmus slo‘it‚ho jedn n¡
{\sl (The Sophisticated Agenda Algorithm)}
Mˆjme kandid ty $a_1,...,a_n$. Definujme indukc¡
\def\a {\alpha}
\hskip 1 cm $\a _{i+1}=a_{i+1}$ pokud $a_{i+1}$ poraz¡
$\a _1,\a _2,...,\a _i$
$\a _1=a_1,
\hskip 1cm $ a_ {i+1}=\a _i$ pokud nejm‚nˆ jeden $\a _j$, $1<j<i$,
rem¡zuje s $a_{i+1}$, nebo jej poraz¡.
V˜sledek algoritmu je kandid t $\a _n$.
Nyn¡ m me zaru‡eno:
\item {a.} algoritmus slo‘it‚ho jedn n¡ vybere stejn‚ho kandid ta,
jako v¡cestup¤ov v˜bˆrov procedura;
\item {b.} tento kandid t poraz¡, aŸ p©¡mo ‡i nep©¡mo, ka‘d‚ho
jin‚ho kandid ta;
\item {c.} proto nem–‘e b˜t ani Paret–v hor¨¡ kandid t; a
\item {d.} tato v˜bˆrov metoda je monotonn¡.
Toto jsou v˜sledky z kladn¡ho v˜znamu, a‡koli se v literatu©e
o hlasov n¡ objevily teprve ned vno (Miller [1980]; Shepsle
a Weingast [1982]; Moulin [1983], ‡ st 5; Banks [1984]).
Copelandovo hlasovac¡ pravidlo je jin‚ pravidlo zalo‘en‚
na vˆt¨inov‚m porovn v n¡ dvojic, kter‚ vyhovuje uveden˜m
podm¡nk m b,c,d.
Copelandovo pravidlo: Copeland [1951].
Porovnejme ka‘d‚ho kandid ta s ka‘d˜m jin˜m kandid tem
a vyberme toho kandid ta, kter˜ vyhr l nej‡astˆji; p©i
stejn‚m po‡tu v¡tˆzstv¡ u v¡ce kandid t– vyberme jednoho
podle p©edem ur‡en‚ho libovoln‚ho po© dku.
Navzdory sv‚ jednoduchosti, tato metoda vy‘aduje v¡ce
porovn v n¡ dvojic, ne‘ algoritmus slo‘it‚ho jedn n¡: pokud
m me $p$ kandid t–, v¨ech $p(p-1)/2$ souboj– mus¡ b˜t rozhodnuto;
oproti algoritmu slo‘it‚ho jedn n¡, kde je pot©eba nejv˜¨e
$p(p-1)/2$ takov˜ch porovn n¡. Pokud m me 13~kandid t– nebo
v¡ce, je mo‘n‚ nal‚zt takov˜ soubor preferenc¡, kde dvˆ
metody (Copelandova a slo‘it‚ho jedn n¡) vyberou radik lnˆ
odli¨n‚ v¡tˆze (Moulin [1984]). Tak‚ lze dok zat, ‘e
Copelandovo pravidlo se ned odvodit z bin rn¡ho stromu,
jakkoliv rozs hl‚ho (Moulin [1984]).
|
