\def\adchap#1{{\advance\chap#1{}\the\chap}} \heading{Der Balken- und Bogensatz} Im Gegensatz zu den bisher behandelten Notenschriftzeichen sind die Balken und Bogen satztechnisch dadurch ausgezeichnet, da\3 sie in der L"ange und Gestalt variieren k"onnen, so da\3 es nicht ausreicht, nur ein Element in einem Font f"ur den Satz zur Verf"ugung zu stellen. Die Neigung der Balken bzw. die Kr"ummung der Bogen ist abh"angig von den zu verbindenden bzw. zu "uberspannenden Noten. Au\3er den Faustregeln, da\3 aus der Neigung des Balkens der Melodieverlauf erkenntlich sein soll, um ein schnelleres Notenlesen zu erm"oglichen, und da\3 der Bogen von Notenkopf zu Notenkopf verlaufen sollte, jedoch andere Zeichen nicht schneiden darf, gibt es keine expliziten Regeln f"ur den Satz dieser Notenschriftelemente. \Beispiel {\loose \hsize10cm \advance\hsize2\iindent \parindent2\iindent \beginsong \vio\C \group{\\{\a0}\\{\a2}\\{\a4}}{\\{0}\\{2}\\{4}}\ubeam13\go \group{\\{\a4}\\{\a2}\\{\a0}}{\\{4}\\{2}\\{0}}\ubeam13\go \group{\\{\a4}\\{\a6}}{\\{4}\\{6}}\lbeam12\uslur12\go \group{\\{\a2}\\{\a4}}{\\{2}\\{4}}\ubeam12\lslur12\go \group{\\{\h4}\\{\h2}}{\\{4}\\{2}}\uslur12\go\doublebarline \endsong} \vskip-1cm \endBeispiel Alle anderen Satzregeln m"ussen daher aus der Notenliteratur abgeleitet werden. Es gilt also, Verfahren f"ur den automatischen Notensatz zu entwickeln, die den ansonsten nicht notwendig einheitlichen Handsatz so nachahmen, da\3 die Ergebnisse in den meisten F"allen mit dem Handgesetzten "ubereinstimmen. Die Verfahren f"ur den Balken- und Bogensatz gliedern sich in folgende Abschnitte: \item{1)} Berechnung der Steigung des Balkens bzw. der Sekantensteigung des Bogens, \item{2)} Diskretisierung der Steigungen und Zusammenstellung der Balken bzw. Bogen aus den Zei\-chen\-s"at\-zen, \item{3)} Endg"ultige Positionierung des Balkens bzw. Bogens. \Bemerkung Die hier vorgestellte Vorgehensweise ist durch die Tatsache bedingt, da\3 ein Textsatzprogramm verwendet wird und nicht koordinaten-orientiert gearbeitet wird. Das Zeichnen der Balken w"are im anderen Fall direkt und ohne Diskretisierung der berechneten Steigung ausf"uhrbar. \endBemerkung \subheading{Entwicklung des Verfahrens zur Verbalkung} Gesucht ist ein Verfahren zur \defi{Verbalkung} von Noten, d.h. ein Verfahren, das jede beliebige Folge von Noten $(N_i)_{i=1,\ldots,n}$ durch einen (oder mehrere) Balken verbindet, so da\3 der Aufpunkt $P$ und die Neigung $S$ der Balken dem Handgesetzten nahe kommt. Ein solches Verfahren gliedert sich in drei Teilschritte: \item{1)} Bestimmung der Balkensteigung. \item{2)} Anpassung der Notenh"alse. \item{3)} Bestimmung des Aufpunktes aller Balkenst"ucke der Notengruppe. \Bemerkung \item{1)} Die Anzahl der Balken an einer Note stimmt mit der Anzahl der dem Notenwert entsprechenden F"ahnchen (s. a. \the\chap.2.2) "uberein. Alle Balkensteigungen innerhalb einer Notengruppe stimmen mit der des "au\3ersten (d.h. des `Achtel'-Balkens) "uberein. \item{}Es gen"ugt also, nur eine Steigung f"ur die ganze Notengruppe zu berechnen. \item{2)} Die Lage der Balken (oberhalb oder unterhalb der Notenk"opfe) ist durch Regel N4b in \adchap{-1}.1 \XX festgelegt. Die gemeinsame Richtung der Notenh"alse kann zu jeder Folge von Noten bestimmt werden und sei o.B.d.A. vorgegeben. \item{3)} Die Balkensteigung ist nicht abh"angig von der absoluten Tonh"ohe der Noten, sondern von der Position der Noten im Liniensystem. Es gen"ugt also, die interne Tonh"ohe der betroffenen Noten zu betrachten. \endBemerkung \subsubheading{Bestimmung der Balkensteigung} F"ur die folgenden "Uberlegungen beschreibe $d\in\{-1,+1\}$ wie in \adchap{-1}.2.2 die nach Regel N4c) bestimmte gemeinsame Richtung der Notenh"alse der Balkengruppe. \subsubsubheading{Das Vorzeichen der Steigung} Betrachtet man zun"achst zwei Noten $N_1$ und $N_2$ mit zugeh"origen internen Tonh"ohen $p_1$ und $p_2$, dann gilt unabh"angig von der gemeinsamen Richtung der Notenh"alse $d$ f"ur das Vorzeichen der Steigung $S$: $$\align \text{F"ur }p_10\;,\\ \text{f"ur }p_1=p_2& \text{ gilt }S=0 \text { und }\\ \text{f"ur }p_1>p_2& \text{ gilt }S<0 \;.\endalign%\tag{S$_1$} $$ d.h. die Balkensteigung entspricht der Tendenz des Melodieverlaufs. \Beispiel {\loose \hsize10cm \advance\hsize2\iindent \parindent2\iindent \beginsong \vio\C \group{\\{\a2}\\{\a3}}{\\{2}\\{3}}\ubeam12\go \group{\\{\a3}\\{\a2}}{\\{3}\\{2}}\ubeam12\go \group{\\{\a3}\\{\a8}}{\\{3}\\{8}}\lbeam12\go \group{\\{\a6}\\{\a4}}{\\{6}\\{4}}\lbeam12\go \group{\\{\a4}\\{\a4}}{\\{4}\\{4}}\lbeam12\go \group{\\{\a3}\\{\a3}}{\\{3}\\{3}}\ubeam12\go \=\endsong} \vskip-1cm \endBeispiel Das Vorzeichen ist f"ur zwei beliebige Noten eindeutig festgelegt. Dies gilt jedoch nicht mehr unbedingt f"ur Notengruppen mit mehr Elementen. Man findet in der Literatur: {\loose \hsize8cm \advance\hsize2\iindent \parindent2\iindent \beginsong \vio\C \group{\\{\a0}\\{\a1}\\{\a2}\\{\a3}}{\\{0}\\{1}\\{2}\\{3}}\ubeam14\go \group{\\{\a2}\\{\a1}\\{\a0}}{\\{2}\\{1}\\{0}}\ubeam13\go \group{\\{\a4}\\{\a8}\\{\a4}}{\\{4}\\{8}\\{4}}\lbeam13\go\=% \endsong} \vskip-1cm Das Beispiel f"ur $p_1=p_n$ zeigt, da\3 hier die Steigung abh"angig von der Tonh"ohe der ersten und letzten Note bestimmt wurde. Untersucht man andere Notenkombinationen, so zeigt sich auch f"ur F"alle mit $p_1\ne p_n$, da\3 die Neigung nach der ersten und letzten Note bestimmt wurde. \Beispiel {\hsize 7cm \loose \advance\hsize2\iindent \parindent2\iindent \beginsong \vio\C \def\beamlist{\\{1-3,}\\{2-3,}} \group{\\{\a6}\\{\s8}\\{\s2}}{\\{6}\\{8}\\{2}}\lbeam13\go \def\beamlist{\\{1-\the\N,}} \group{\\{\a4}\\{\a{12}}\\{\a{10}}\\{\a8}}{\\{4}\\{12}\\{10}\\{8}}% \lbeam14\go\=% \endsong} \vskip-1cm \endBeispiel Allgemein gilt f"ur $n>2$: $$\align \text{F"ur }p_1p_n&\text{ gilt }S\le0 \;.\endalign%\tag{S$_2$} $$ Dabei gilt $S=0$, falls f"ur ein $i\in\{2,\ldots,n-1\}$ gilt: $$\align &p_i\ge \max(p_1,p_n )\text{, falls }\quad d=1\;\\ \text{oder }& p_i\le \min(p_1,p_n)\text{, falls }\quad d=-1\;.\endalign$$ Gibt es also innerhalb einer Notengruppe, deren Notenh"alse nach oben gestielt sind, Noten, deren Tonh"ohe gr"o\3er oder gleich der Tonh"ohe der h"ohergelegenen ``Randnote'' ist, so wird der Balken nicht geneigt. Weisen alle Notenh"alse nach unten, so wird die jeweils tiefergelegene ``Randnote'' betrachtet. \Beispiel \par\noindent\vbox{\hsize 6cm \loose \advance\hsize2\iindent \parindent2\iindent \beginsong \vio\C \group{\\{\a4}\\{\a3}\\{\a5}}{\\{4}\\{3}\\{5}}\lbeam13\go \group{\\{\a0}\\{\a3}\\{\a3}}{\\{0}\\{3}\\{3}}\ubeam13\go\=% \endsong} \vskip-1cm \endBeispiel Das Vorzeichen der Steigung wird also nach der Konstellation der ersten und letzten Note der Balkengruppe bestimmt. \subsubsubheading{Der Betrag der Steigung} Sei im folgenden \folgi Nin eine Folge von Noten, f"ur die nach den obigen Bedingungen die Steigung $S$ nicht verschwindet. Um gr"o\3ere Steigungen zu vermeiden, wird der Betrag der Steigung nicht nach der Position der Notenk"opfe bestimmt wird, sondern bez"uglich der Endpunkte der Notenh"alse. Sei $E_i=(h_i,e_i)$ der Endpunkt des Notenhalses von $N_i$, wobei $h_i$ den Abszissenwert des Notenhalses und $e_i:=\bar p_i+ d\cdot s^d(p_i)$ den vertikalen Abstand von der Grundlinie angibt ($\bar p_i = p_i\cdot 0.5 \verbatimon|\nhh|$). Aus diesen Werten kann allgemein die Steigung $S^*$ einer Geraden durch die Punkte $E_1$ und $E_n$ berechnet werden durch Bildung des Differenzenquotienten $$S^*= \Frac{e_n-e_1}{h_n-h_1}\;.$$ Diese errechnete Steigung kann jedoch erst nach einigen weiteren Korrekturen der Notenh"alse als endg"ulti\-ge Steigung f"ur den Balken "ubernommen werden. \subsubsubheading{Die Korrektur der Notenhalsl"angen} Es sind zun"achst zwei verschiedene Korrekturen der Notenhalsl"angen m"oglich. \item{1)} Wegen $$\verbatimoff |s^d(p_1)-s^d(p_n)|\le|\bar p_1-\bar p_n|$$ gilt immer: $$ \align &e_n-e_1\ge0 \text{ f"ur }p_1p_n\;.\endalign$$ \item{} In einigen F"allen wird jedoch die strikte Positivit"at bzw. Negativit"at von $S^*$ nicht mehr gew"ahrleis\-tet. \Beispiel {\hsize 4cm \loose \advance\hsize2\iindent \parindent2\iindent \beginsong \vio\C \ \v{-4}\v{-3}\v{11}\v{13}\hfill\null \endsong} \vskip-1cm \endBeispiel \item{} In diesen F"allen m"ussen also die Notenhalsl"angen so korrigiert werden, da\3 die Bedingung f"ur das Vorzeichen der Steigung erf"ullt ist, und eine betragsm"a\3ig kleine Steigung die Tendenz der Notengruppe ausdr"uckt. \item{2)}Eine weitere Korrektur ergibt sich aus der Tatsache, da\3 Balken mit einer Steigung von mehr als $25^\circ $--$ 30^\circ$ geneigt sind, nicht verwendet werden, da sie das Gesamtbild optisch unruhig erscheinen lassen. Da die Steigung von der Differenz der Abszissenwerte der Notenh"alse abh"angig ist, tritt dies h"aufig auf bei Notenpaaren mit stark unterschiedlichen Tonh"ohen, z.B. {\hsize 4cm \advance\hsize2\iindent \parindent2\iindent \universal \beginsong \vio\C \hskip20pt\v{-3}\v{3} \hfill \endsong} \vskip-1cm\ \item{} Die Korrektur sollte also dahin zielen, den Betrag der Balkensteigung so zu verkleinern, da\3 die h"ochstzul"assige Steigung angenommen wird. Dies kann auf zwei Arten geschehen: \itemitem{a)} Vergr"o\3ern des horizontalen Abstands, was aus den in Kapitel \adchap{-2}.1 \XX angef"uhrten Gr"unden jedoch unzul"assig ist, und \itemitem{b)} Verkleinern des vertikalen Abstandes durch Ver"andern der Notenhalsl"angen. \item{}Auch in diesem Fall ist also eine Korrektur der Notenhalsl"angen erforderlich. Aus den Beipielen in der Notenliteratur ergibt sich, da\3 die Korrektur der Notenhalsl"angen stets durch Verl"angern der entsprechenden Notenh"alse erfolgt, nie durch Verk"urzen. Die Verl"angerung der Notenh"alse ist nicht unabh"angig von der gemeinsamen Notenhalsrichtung $d$. Es gilt f"ur die zu den Noten $N_1$ und $N_n$ zugeh"origen Halsl"angen $s_1$ und $s_n$ f"ur die zuerst vorgestellte Korrekturm"oglichkeit: \verbatimon $$\align \text{Ist }d\cdot(p_1-p_n)>0&\text{, so gilt } s_1 =s^d(p_1)+0.5\hbox{|\nhh| und } s_n=s^d(p_n)\,,\\ \text{und ist }d\cdot(p_1-p_n)<0&\text{, so gilt } s_n =s^d(p_n)+0.5\hbox{|\nhh| und } s_1=s^d(p_1)\;.\endalign$$ Die zweite Korrektur wird wie folgt durchgef"uhrt: Sei $h:=h_n-h_1$ die Differenz der Abzissen der Notenh"alse und $\epsilon:=\sin\alpha$, wobei $\alpha$ den maximal zul"assigen Neigungswinkel angibt. Dann gilt $$\align \text{Ist }d\cdot(p_1-p_n)>0&\text{, so gilt } s_1 =s^d(p_1)+\verbatimoff (|e_n-e_1| -\epsilon \cdot h) \hbox{ und } s_n=s^d(p_n)\,,\\ \text{und ist }d\cdot(p_1-p_n)<0&\text{, so gilt } s_n =s^d(p_n)+\verbatimoff (|e_n-e_1| -\epsilon \cdot h) \hbox{ und } s_1=s^d(p_1)\;.\endalign$$ Die der Notengruppe zugeh"orige Balkensteigung $S$ lautet nun: $$S:=\Frac{(\bar p_n - \bar p_1) + d(s_n-s_1)}{h_n-h_1} $$ \Beispiel \par \input mdocpic2 \endBeispiel \subsubsubheading{Die Diskretisierung der Balkensteigung} Die Balkensteigung $S$ hat einen reellen Wertebereich, wenn man die oben angef"uhrte Definition anwendet ($S\in\lbrack-\tan\alpha,\tan\alpha\rbrack\subset\rz$). Wie schon in \adchap{-4}.1.4 \XX angedeutet, bietet \TeX\ au\3er Rules keine M"oglichkeit, Linien zu setzen. Man w"urde also einen Balken beliebiger Steigung aus gen"ugend kleinen ausgef"ullten Rechtecken zusammensetzen m"ussen und dabei ein Optimierungsverfahren anwenden. Diese Vorgehensweise w"are sowohl im Satz als auch in der Ausgabe sehr zeitaufwendig und w"urde dennoch bei von Null verschiedenen Steigungen eine sichtbare Treppenstruktur ergeben. Es liegt daher nahe, die Balkensteigung zu diskretisieren und Balken dieser Steigungen in einem eigenen Zeichensatz zusammenzufassen. \Bemerkung \item{1)}Das folgende Verfahren ist nicht spezifisch f"ur das Textsatzsystem \TeX, sondern k"onnte auch f"ur andere Satzsysteme verwendet werden. \item{2)} Diese Vorgehensweise der Diskretisierung findet man auch beim Typendruckverfahren, das im wesentlichen zwei verschiedene Neigungen verwendet: steile und flache (s. \lit{\genzmeier, S.119}). \endBemerkung Es sollen hier jedoch feinere Unterschiede gemacht werden: \item{1)}Die Balkensteigung soll die errechnete m"oglichst realistisch wiedergeben. \item{2)}Die gr"o\3te Steigung entspricht $\tan\alpha$, wobei $\alpha$ den maximal zul"assigen Neigungswinkel angibt. (Es gilt z.B. $25^\circ\approx\arctan{\hbox{|\nhh|}\over\hbox{2|\nhw|}}=\arctan 0.\overline{45}$, falls |\nhw|=1.1|\nhh|.) Gesucht ist eine Folge $0=m_00$ f"ur den absoluten Fehler wurde das Zweifache der Balkenst"arke gew"ahlt, so da\3 sich bei Rundung auf den n"achsten diskreten Steigungswert ein maximaler Fehler von $\eta/2$, d.h. der St"arke eines Balkens ($\approx$0.6|\nhh|), ergibt. Sei $\epsilon:=\max_{i=0,\ldots,k-1}\{m_{i+1}-m_i\}$, so gilt f"ur den absoluten Fehler: $$\verbatimoff |m_{i+1}-m_i|\cdot|h|<\eta\;.$$ Die Wahl von $\epsilon$ ist also abh"angig von $|h|$. W"ahlt man acht verschiedene Steigungen, d.h. $k=8$, und als obere Schranke $m_8=0.45$, so erh"alt man f"ur $\epsilon=\Frac{0.45}8\cong0.056$ die gew"unschte Genauigkeit f"ur \verbatimoff $|h|=\verbatimon{\hbox{1.2|\nhh|}\over\dsize0.056}\cong21\hbox{|\nhh|} \cong20\hbox{|\nhw|}$.\verbatimon Diese Genauigkeit wird also bei einer Verbalkung von zehn Achtelnoten bei universellem Zeilenausschlu\3 (s. 5.1.1\XX) eingehalten. Dies ist ausreichend, da selten l"angere Balken ben"otigt werden. Bei einer Verbalkung von sechs Achtelnoten erreicht man eine Genauigkeit von $\eta/2$. Aus diesen Gr"unden wurde f"ur den Balkenzeichensatz der `Steigungssatz' $m_i=0.056\cdot i\,,$ $i=1,\ldots,8$ gew"ahlt. Die Anpassung der oben berechneten Steigung $S$ an die im Zeichensatz vorhandenen erfolgt f"ur \verbatimoff$|S|\ge m_1$ durch Runden auf den n"achsten diskreten Steigungswert $m_i$ mit $m_i\le |S|$ und f"ur $0<|S|2\,.\endcases$$ Auch diese Werte sind heuristisch bestimmt. \par \subsubheading{% Bestimmung des Aufpunktes aller Balken der Notengruppe} Der Aufpunkt $P_{i,j}=(h_i,a_{i,j})\,,1\le i\le n$ und $1\le j\le r$, der einzelnen Balken der Notengruppe wird nun wie folgt bestimmt: $$a_{i,j} = \bar p_i + d\cdot s_i + d\cdot r\cdot\hbox{|\nhh|}\;.$$ Dabei wird der Balken bis auf den Spezialfall eines ``Halbbalkens'' immer rechts vom Notenhals positioniert. Gilt ein Balken nur f"ur eine Note, so wird er je nach Position der Note innerhalb der Notengruppe links oder rechts vom Notenhals plaziert, z.B immer links f"ur $N_n$ und immer rechts f"ur $N_1$. Innerhalb der Gruppe richtet sich die Position nach dem metrischen Gef"uge (s.\lit\ziegen). Ein solcher Balken hat immer als L"ange die H"ohe eines Notenkopfes. \Beispiel {\hsize 10cm \advance\hsize2\iindent \parindent2\iindent \loose \beginsong \vio\C \def\beamlist{\\{1-2,}\\{-2,}} \group{\\{\a6\.1}\\{\s6}}{\\{6}\\{6}}\lbeam12\go \def\beamlist{\\{1-2,}\\{1-1,}} \group{\\{\s6}\\{\a7\.1}}{\\{6}\\{7}}\lbeam12\go \def\beamlist{\\{1-4,}\\{-2,-4,}} \group{\\{\a7\.1}\\{\s8}\\{\a6\.1}% \\{\s7}}{\\{7}\\{8}\\{6}\\{7}}\lbeam14\go \def\beamlist{\\{1-4,}\\{1-1,3-3,}} \group{\\{\s7}\\{\a8\.1}\\{\s6}\\{\a7\.1}} {\\{7}\\{8}\\{6}\\{7}}\lbeam14\go \hfill\=% \endsong} \vskip-1cm \endBeispiel \subsubheading{Abschlie\3ende Bemerkungen zur Verbalkung} Das obige Verfahren zur Verbalkung l"a\3t sich auch f"ur Akkorde durchf"uhren, wenn f"ur die interne Tonh"ohe die am weitesten von der jeweiligen Bezugsnote entfernte Note zur Berechnung verwendet wird. \Beispiel {\hsize 4cm \advance\hsize2\iindent \parindent2\iindent \loose \beginsong \vio\C% \def\beamlist{\\{1-3,}\\{1-3,}}% \group{\\{\b7\rchord\a7\a{-1}\endchord}\\{\rchord\a{14}\a8\endchord} \\{\rchord\a{11}\a5\endchord}}{\\{-1}\\{8}\\{5}}\lbeam13\go\hfill \endsong} \vskip-1cm \endBeispiel \subheading{Entwicklung eines Verfahrens zur Phrasierung} Gesucht ist ein Verfahren zur \defi{Phrasierung} von Noten, d.h. ein Verfahren, das jede beliebige Folge von Noten \folgi Nin mit zugeh"origen Tonh"ohen \folgi pin, Notenhalsl"angen \folgi sin und Notenhalsrichtungen \folgi din mit einem Bogen "uberspannt. Wie bei der Verbalkung mu\3 zun"achst entschieden werden, ob der Bogen oberhalb oder unterhalb der Noten verl"auft. Verl"auft der Bogen oberhalb, so ist eine konkave Form zu w"ahlen, andernfalls eine konvexe Form. Als Grundregel gilt: \item{P1)}Bei einstimmiger Notation wird der Bogen von Notenkopf zu Notenkopf gef"uhrt, so da\3 die betroffenen Noten deutlich erkennbar sind, d.h. f"ur $d_1=d_n$ wird der Bogen unterhalb der Notenk"opfe gef"uhrt, falls $d_1=+1$, und oberhalb, falls $d_1=-1$. \item{} F"ur $d_1\ne d_n$ gibt es keine einheitliche Regelung, jedoch findet man meistens (vor allem in der Vokalmusik) die Regelung, da\3 der Bogen oberhalb der Notenk"opfe gef"uhrt wird, um nicht in Konflikt mit unterlegtem Text zu geraten. \item{P2)} Bei zwei- (oder mehr-)stimmiger Notation gilt jedoch allgemeing"ultig die Regelung, da\3 f"ur die Phrasierung der Oberstimme konkave Bogen und f"ur die Phrasierung der Unterstimme konvexe Bogen vorgeschrieben sind. \Beispiel {\universal \hsize 10 cm \advance\hsize2\iindent \parindent2\iindent \beginsong \vio\C \group{\\{\h5}\\{\h5}}{\\{5}\\{5}}\uslur12\go \group{\\{\h3}\\{\h3}}{\\{3}\\{3}}\lslur12\go \group{\\{\h4}\\{\h3}}{\\{4}\\{3}}\uslur12\go \group{\\{\h3}\\{\h4}}{\\{3}\\{4}}\uslur12\go \two{% \group{\\{\h3}\\{\h7}}{\\{3}\\{7}}\uslur12\go} {\group{\\{\h1}\\{\h4}}{\\{1}\\{4}}\lslur12\go}\=\endsong }\vskip-1cm \endBeispiel Der Bogen wird im Gegensatz zum Balken nicht dazu verwendet, den Melodieverlauf auszudr"ucken, sondern wird abh"angig vom zur Verf"ugung stehenden Freiraum positioniert, d.h. er darf innere Noten der Notengruppe nicht durchkreuzen. Beim Handnotensatz unterscheidet der Notensetzer Legato- und Haltebogen von Phrasierungsbogen. Legato- und Haltebogen sind k"urzer und meist schon als Stempel vorhanden, w"ahrend Phrasierungsbogen freier gestochen werden und l"anger sind. Legatobogen haben also f"ur eine bestimmte L"ange eine feste Kr"ummung, w"ahrend Phrasierungsbogen in der Form variieren k"onnen. Da \TeX\ nicht die graphischen M"oglichkeiten besitzt, Bogen zu zeichnen, mu\3te eine Algorithmus gefunden werden, der Bogen mit einer festen Kr"ummung bei gleicher Breite setzt. Berechnet man also die Sekantensteigungen des Bogens, so ist der zugeh"orige zu w"ahlende Bogen eindeutig bestimmt und in einem Zeichensatz speicherbar. Daher ist es f"ur das Setzen eines Bogens ausreichend, nur seine Sekantensteigung zu berechnen und diese zu diskretisieren. \subsubheading{Bestimmung des Anfangs- und Endpunktes des Bogens} O.B.d.A. seien im folgenden Noten durch einen konkaven Bogen zu "uberspannen. F"ur den konvexen Bogen lassen sich die "Uberlegungen analog durchf"uhren. Sei \folgi Nin eine Notengruppe. Seien \folgi pin die zugeh"origen Tonh"ohen und $\bar p_i:=p_i\cdot0.5\hbox{|\nhh|} $ wie oben. Seien \folgi din die Richtungen der Notenh"alse, \folgi sin die zugeh"origen Notenhalsl"angen und \folgi hin die Abszissenwerte der Notenh"alse. \Bemerkung O.B.d.A. sei $h_1:=0$. Gilt $d_i=0$ f"ur ein $i$, so besitzt die Note keinen Notenhals. In diesem Fall sei $h_i$ der Abszissenwert des Notenkopfmittelpunktes. \endBemerkung Dann gilt f"ur den Anfangspunkt $A_i$ des Bogens f"ur Noten, die nicht mit aufw"arts gestielten Notenh"alsen verbalkt sind: $$\matrix\format\r&\l&\l\\ \text{F"ur } &d_i=+1& \text{ gilt } A_i=(h_i+0.5\hbox{|\nhh|}, \bar p_i+\hbox{|\nhh|})\,,\\ \text{f"ur } &d_i=0&\text{ gilt } A_i=(h_i, \bar p_i+\hbox{|\nhh|})\,,\\ \text{f"ur } &d_i=-1&\text{ gilt } A_i=(h_i+0.5\hbox{|\nhh|}, \bar p_i+\hbox{|\nhh|})\,.\endmatrix$$ Ist $N_i$ Element einer oberhalb der Notenk"opfe verbalkten Notengruppe, so ist eine weitere Fallunterscheidung notwendig. Falls $N_i$ nicht das \disp{letzte} Element der verbalkten Notengruppe ist, gilt: $A_i =(h_i,\bar p_i+s_i+0.5\hbox{|\nhh|})\;.$ Dies gilt auch f"ur die letzte Note einer ``Balkengruppe'', falls die Note des Bogenendes auf die gleiche Weise verbalkt wurde, andernfalls gilt $A_i= (h_i+0.5\hbox{|\nhh|}, \bar p_i+\hbox{|\nhh|})$. F"ur den Endpunkt $E_i$ des Bogens f"ur Noten, die nicht mit aufw"arts gestielten Notenh"alsen verbalkt sind, gilt: $$\matrix\format\r&\l&\l\\ \text{F"ur }& d_i=+1&\text{ gilt } E_i=(h_i-0.5\hbox{|\nhh|}, \bar p_i+\hbox{|\nhh|})\,,\\ \text{f"ur }& d_i=0&\text{ gilt } E_i=(h_i, \bar p_i+\hbox{|\nhh|})\,,\\ \text{f"ur }&d_i=-1&\text{ gilt } E_i=(h_i+0.5\hbox{|\nhh|}, \bar p_i+\hbox{|\nhh|})\,.\endmatrix$$ Ist $N_i$ Element einer oberhalb der Notenk"opfe verbalkten Notengruppe, so ist wiederum eine Fallunterscheidung notwendig. Falls $N_i$ nicht das \disp{erste} Element der verbalkten Notengruppe ist, so ist $E_i =(h_i,\bar p_i+s_i+0.5\hbox{|\nhh|})\;.$ Dies gilt auch f"ur die erste Note einer ``Balkengruppe'', falls die Note des Bogenendes auf die gleiche Weise verbalkt wurde, andernfalls ist $E_i= (h_i,\bar p_i+\hbox{|\nhh|})$. \verbatimoff \par \Beispiel \par {\hsize 16 cm\universal \parindent = 0pt \beginsong \vio\C% \group{\\{\h3}\\{\h3}}{\\{3}\\{3}}\uslur12\go \group{\\{\h3}\\{\g5}}{\\{3}\\{5}}\uslur12\go \group{\\{\h3}\\{\h4}}{\\{3}\\{4}}\uslur12\go\doublebarline \group{\\{\g4}\\{\h1}}{\\{4}\\{1}}\uslur12\go \group{\\{\g5}\\{\g5}}{\\{5}\\{5}}\uslur12\go \group{\\{\g5}\\{\h5}}{\\{5}\\{5}}\uslur12\go\doublebarline \group{\\{\h4}\\{\h3}}{\\{4}\\{3}}\uslur12\go \group{\\{\h5}\\{\g5}}{\\{5}\\{5}}\uslur12\go \group{\\{\h4}\\{\h8}}{\\{4}\\{8}}\uslur12\go\hfill\doublebarline \group{\\{\a3}\\{\a3}\\{\h6}}{\\{3}\\{3}\\{6}}\ubeam12\uslur13\go \group{\\{\a3}\\{\a3}\\{\h6}}{\\{3}\\{3}\\{6}}\ubeam12\uslur23\go \doublebarline \group{\\{\a3}\\{\a3}\\{\a3}\\{\a3}}{\\{3}\\{3}\\{3}\\{3}% }\ubeam12\ubeam34\uslur13\go\|% \group{\\{\a3}\\{\a3}\\{\a3}\\{\a3}}{\\{3}\\{3}\\{3}\\{3}% }\ubeam12\ubeam34\uslur23\go \=\endsong} \vskip-1cm \endBeispiel Wie bei der Verbalkung mu\3 in Extremf"allen die Sekantensteigung korrigiert werden. Dies geschieht wiederum nur durch Verschieben der Anfangs- bzw. Endpunkte in vertikaler Richtung, d.h. durch Ver"andern der Ordinaten. \verbatimon Im folgenden seien \folgi ain und \folgi ein die Ordinatenwerte der Punkte \folgi Ain{}bzw. \folgi Ein. Eine Korrektur wird (auch in der Notenliteratur) nur so durchgef"uhrt, da\3 die Sekantensteigung betragsm"a\3ig verkleinert wird, jedoch kein Vorzeichenwechsel auftritt. Da die Anfangs- und Endpunkte f"ur einen konkaven Bogen so gew"ahlt sind, da\3 der vertikale Abstand von der Grundlinie der minimal m"ogliche ist, kann die Korrektur nur durch Erh"ohen des Abstandes durchgef"uhrt werden. \item{1)}Zun"achst ist eine Korrektur notwendig, falls der Bogen, der die Noten zwischen $N_1$ und $N_n$ "uberspannen soll, die inneren Noten schneidet. Die Bogen der Notenliteratur "ahneln eher Parabelausschnitten als Kreisbogenausschnitten, wie man zun"achst vermuten w"urde. Um den Bogenverlauf m"oglichst genau nachzuahmen, wurde ein Parabelausschnitt gew"ahlt, der durch die beiden Endpunkte des Bogens und einen dritten Punkt eindeutig bestimmt ist. Dieser dritte Punkt ist durch einen Vektor, der senkrecht auf der Sekante steht, mit dem Sekantenmittelpunkt als Aufpunkt und einer L"ange, abh"angig von der Sekantenl"ange, gegeben. Als L"ange hat sich hierbei ein Sechstel der Sekantenl"ange bew"ahrt, soweit diese nicht den Betrag von |2\nhh| "uberschreitet. \par \item{} Da nur eine grobe Korrektur notwendig ist, gen"ugt es, den Bogen geeignet linear zu approximieren und zu "uberpr"ufen, ob die inneren Noten unterhalb einer solchen Geraden verlaufen. \item{} Die Gerade, die dies f"ur alle F"alle gew"ahrleistet, ist nat"urlich die Gerade durch die Sekante des Bogens. Dies f"uhrt jedoch f"ur die Noten, die sich unter der Sekantenmitte befinden, zu unbefriedigenden Ergebnissen. Da sich jedoch in unmittelbarer N"ahe der Bogenendpunkte keine inneren Noten befinden, kann eine Gerade gew"ahlt werden, die zur Sekante parallel verl"auft. Der Abstand zur Sekante ist abh"angig von der ``Auslenkung'' des Bogens und der Sekantensteigung. \item{} Sei $\epsilon$ der Abstand der beiden Geraden und $S$ die errechnete Sekantensteigung bzgl. $A_1$ und $E_n$. Dann ist $s^*=\max_{i=2,\ldots,n-1}\{0\,,\,(e_i-a_1+S\cdot h_i)-\epsilon\}$ der Maximalwert, um den die Approximationsgerade "uberschritten wurde. Die Korrektur der Bogensteigung wird dann wie folgt durchgef"uhrt: gilt $a_1e_n$, wird so korrigiert, da\3 $S$ verschwindet, d.h. $e_n$ mu\3 um den Betrag $e_n-(a_1+s^*)$ vergr"o\3ert werden. F"ur $a_1>e_n$ wird zun"achst $e_n$ vergr"o\3ert. Falls dabei $S$ Null wird, ist zus"atzlich $a_1$ zu korrigieren. \medskip \input mdocpic4 \medskip \centerline{{\eightrm Skizze zur Approximation des Bogens}} \item{2)}Eine weitere Korrektur mu\3 (nach der Diskretisierung (s. \the\chap.2.2\XX)) durchgef"uhrt werden, falls die Steigung die f"ur die Zeichenbreite des Bogens zul"assige maximale Steigung "uberschreitet. \item{} Die Sekantensteigungen $S$ liegen im Intervall $(-1,1)\in\rz$, jedoch kommt es auch nur selten vor, da\3 \verbatimoff$S\cdot |h|>\verbatimon 4\hbox{|\nhh|}$, d.h. die H"ohe des Zeilensystems "uberschreitet. Die maximal zul"assige Steigung ist also abh"angig von $h$ und kann beschrieben werden durch: \verbatimon $$\bar s(h)=\min(1,{4\hbox{|\nhh|}\over h})\;.$$ Dann wird die Korrektur wiederum so durchgef"uhrt, da\3 $a_1$ vergr"o\3ert wird, falls $a_1e_n$. Es gilt: $$a_{1,{\rm neu}}:=e_n-\bar s(h)\cdot h \quad\text{ bzw. }\quad e_{1,{\rm neu}}:=a_n-\bar s(h)\cdot h \;.$$ \subsubheading{Diskretisierung der Sekantensteigung} Aus den gleichen Gr"unden wie bei der Verbalkung ist eine Diskretisierung der Sekantensteigung notwendig. Da die St"arke des Bogens jeweils zum Bogenende abnimmt, w"are es sehr zeitaufwendig, den Bogen aus Einzelst"ucken zusammenzusetzen. Zu jeder Breite und jeder Steigung m"u\3te also ein vollst"andiger Bogen bereitgehalten werden. Ber"ucksichtigt man folgende Gesichtspunkte, kann jedoch eine repr"asentative Auswahl getroffen werden. \item{1)}Da der Bogen die Notengruppe nur "uberspannen und nicht exakt zwischen zwei Notenh"alsen eingepa\3t werden mu\3, gen"ugt es, Bogen der Zeichenbreite $w=k\cdot \hbox{|\nhw|} \text { mit } k\in\nz^+$ bereitzuhalten. \item{2)}Der vertikale Abstand der Bogenendpunkte betr"agt (meistens) ein $m$-faches von 0.5|\nhh|, wobei als obere Grenze 4|\nhh| angesehen werden kann, d.h. $m\le8$. % \item{3)}Eine weitere Schranke ist $m\le2k$, da die Sekantensteigung kleiner als 1 sein sollte. \item{4)}Da jedoch nicht Bogen beliebiger L"ange bereitgehalten werden k"onnen, ist es entgegen obiger "Uberlegung doch notwendig, Bogen gr"o\3erer Breite aus Einzelst"ucken zusammenzusetzen. Dabei wird das Mittelst"uck durch eine Rule beliebiger L"ange ersetzt. Es ergeben sich aus den obigen Gesichtspunkten f"unf verschiedene Zeichens"atze: \item{1)}konkave Bogen positiver Sekantensteigungen ($\frac{ht}w$) mit Breiten $w = i\cdot\hbox{|\nhw|}\,,i\in\{1,\ldots,17\}$ und H"ohen $ht = j\cdot0.5\hbox{|\nhh|}\,,j\in\{1,\ldots,\min({2i,8})\}$. \item{2)}konkave Bogen negativer Sekantensteigungen ($\frac{dp}w$) mit Breiten $w = i\cdot\hbox{|\nhw|}\,,i\in\{1,\ldots,17\}$ und Tiefen $dp =-j\cdot0.5\hbox{|\nhh|}\,,j\in\{1,\ldots,\min({2i,8})\}$. \item{3)}konvexe Bogen positiver Sekantensteigungen ($\frac{ht}w$) mit Breiten $w$ und H"ohen $ht$ wie oben. \item{4)}konvexe Bogen negativer Sekantensteigungen ($\frac{dp}w$) mit Breiten $w$ und Tiefen $dp$ wie oben. \item{5)}konkave und konvexe Haltebogen ($j=0$) verschiedener Breite $w$ wie oben und konkave und konvexe Bogenst"ucke positiver und negativer Sekantensteigung konstanter Breite (% $w=9\hbox{|\nhw|}$). \Bemerkung \item{1)}Die Maximalbreite $w=17\hbox{|\nhw|}$ hat sich so ergeben, da\3 die Zeichens"atze mit jeweils 124 Elementen belegt werden konnten. Vollst"andige Bogen einer gr"o\3eren Breite erschienen nicht sinnvoll, da sie selten vorkommen und viel Speicherplatz ben"otigen. \item{2)} Zur Wahl der Bogenst"ucke: \item{}Der Bogen wird aus drei Teilen zusammengesetzt und zwar werden je ein Bogenst"uck positiver Sekantensteigung und ein Bogenst"uck negativer Sekantensteigung, die jeweils konvex bzw. konkav sind, durch eine Rule beliebiger L"ange verbunden. Dabei k"onnen sich vier verschiedene Situationen ergeben: \Beispiel\vskip-1cm \begingroup \def\vt#1{{\offinterlineskip\vtop{\null\hbox{\slurfont\char\hex#1}\vss}% }} \def\vb#1{{\offinterlineskip\vbox{\vss\hbox{\slurfont\char\hex#1}\null}% }} \medskip \def\rulet{\vrule height 0pt depth 1pt width36pt} \def\ruleb{\vrule height 1pt depth 0pt width36pt} \baselineskip2cm \halign{\hskip\iindent#\hfil&\quad$\vcenter{#}$&\hskip\iindent#\hfil &\quad$\vcenter{#}$\cr a)&\hbox{\vt{28} \rulet\ \vt{30}}&b)&\hbox{\vt{20} \rulet\ \vt{38}}\cr c)&\hbox{\vb{40} \ruleb\ \vb{58}}&d)&\hbox{\vb{48} \ruleb\ \vb{50}}\cr} \endgroup \medskip \endBeispiel \item{} Die folgenden "Uberlegungen gelten f"ur die in Beispiel a) aufgef"uhrte Situation, k"onnen jedoch auch auf die anderen "ubertragen werden. \item{} Sei $S=\Frac{e_n-a_1}h={\dsize j\cdot0.5\hbox{|\nhh|}\over \dsize h}$, wobei $j\in\{0,\ldots,8\}$. O.B.d.A. gilt $e_n>a_1$. Sei $S_1>0$ die Sekantensteigung des ersten Bogenst"ucks und $S_2<0$ die des zweiten. Dann gilt $S_1>S$. Die f"ur die Bogen gew"ahlten Steigungen reichen also in diesem Fall nicht aus. Je gr"o\3er \verbatimoff$|S_2|$ gew"ahlt wird, desto gr"o\3ere Werte m"ussen also f"ur $S_1$ bereitgehalten werden. \item{} Dann gilt:\verbatimon $$S_1={S\cdot h + 9\hbox{|\nhw|}\cdot \verbatimoff|S_2|\over\verbatimon 9\hbox{|\nhw|}}$$\verbatimon Da die H"ohen in den "ubrigen Zeichens"atzen als Vielfaches von 0.5|\nhh| gew"ahlt wurden, d.h. da\3 $S\cdot h = j\cdot 0.5\hbox{|\nhh|}$ f"ur ein $j\in\{1,\ldots,8\}$, gilt, falls eine solche Darstellung auch f"ur \verbatimoff $|S_2|\cdot 9\verbatimon \hbox{|\nhw|}=j^*\cdot0.5\hbox{|\nhh|}$ mit fest gew"ahltem $j^*\in\nz$ angenommen wird,\verbatimon $$S_1={(j+j^*)\cdot 0.5\hbox{|\nhh|}\over 9\hbox{|\nhw|}}\,.$$ Dies ergibt f"ur $S_1$ acht verschiedene Werte $ht_j=j\cdot\hbox{|\nhh|}$, $j\in\{j^*+1,\ldots,j^*+8\}$. \verbatimoff Da der Wert f"ur $|S_2|$ noch mitgerechnet \verbatimon werden mu\3, sind neun verschiedene Bogenst"ucke f"ur jeden Fall notwendig (positiv, negativ, konvex, konkav). \item{} Die Auswahl der Steigungen ist also nur abh"angig von $j^*$ und nicht von $h$. Die vorliegenden Zeichens"atze wurden mit $j^*=2$ erzeugt. Der Fall $S=0$ mu\3 als Sonderfall betrachtet werden, da in diesem Fall $S_1=-S_2$ gelten mu\3. Die Wahl $j^*=2$ erweist sich in diesem Fall jedoch als zu flach. Aus diesem Grund werden f"ur $S=0$ Bogen mit $j=4$ verwendet. \endBemerkung \subheading{Ausf"uhrung des Balken- und Bogensatzes} \subsubheading{Nachbarschaften} Das Setzen der Bogen und Balken ist in hohem Ma\3e abh"angig vom Kontext, z.B. Bestimmung der Anfangs- und Endpunkte der Bogen, die Richtung und L"ange der Notenh"alse. Im Unterschied zum Textsatz besteht hier die Notwendigkeit, Notenschriftelemente, die auf eine solche Weise in Verbindung stehen, d.h. nicht isoliert zu behandeln sind, gleichzeitig zu verarbeiten. Gomberg (\lit\gomb) hat f"ur Notenschriftelemente, die untereinander in Beziehung stehen, indem sie gleichen horizontalen Raum beanspruchen, den Begriff der \defi{Nachbarschaften} formuliert (s.a. Kapitel \adchap2\XX). Anlehnend an diesen Begriff m"ochte ich Notenschriftelemente, die in irgendeiner Weise (graphisch) miteinander verbunden sind, zu einer Nachbarschaft zusammenfassen. Dazu geh"oren Notengruppen, die verbalkt werden sollen, aber auch Notengruppen, die mit einem Bogen "uberspannt werden sollen. Da sich diese Gruppen "uberschneiden k"onnen, sind Nachbarschaften oft gr"o\3er als die einzelne Notengruppe. \Beispiel {\hsize 10 cm \loose \advance\hsize2\iindent \parindent2\iindent \beginsong \vio\Es \hskip20pt\group{\\{\a8}\\{\s3}\\{\s4}\\{\a5} \\{\s5}\\{\s6}\\{\n7\a7}\\{\s{13}}\\{\s7}} {\\{8}\\{3}\\{4}\\{5}\\{5}\\{6}\\{7}\\{13}\\{7}} \def\beamlist{\\{1-3,}\\{2-3,}}\lbeam13% \def\beamlist{\\{4-6,}\\{5-6,}}\lbeam46% \def\beamlist{\\{7-9,}\\{8-9,}}\lbeam79\uslur24\uslur57\uslur89\go \hfill\=% \endsong} \vskip-1cm \endBeispiel \Bemerkung Da es in einer Nachbarschaft nicht m"oglich ist, eine Note isoliert zu sehen, ist es auch nicht m"oglich, eine Nachbarschaft ohne "au\3eres Einwirken (durch den Benutzer) zu trennen. \item{} In \TeX\ wird eine solche Nachbarschaft als Box aufgefa\3t, deren Glue nicht mehr variabel ist. Enth"alt ein Musikst"uck gr"o\3ere Nachbarschaften, wird es problematisch, geeignete Umbruchpunkte f"ur den Zeilenumbruch zu finden. \item{} Das \TeX-Konzept f"ur Ausschlu\3 und Zeilenumbruch erweist sich also an dieser Stelle als hinderlich. \goodbreak \subsubheading{Verarbeitung der Nachbarschaften}Zur Verarbeitung der Nachbarschaften ist es notwendig, Informationen "uber die einzelnen Nachbarschaftselemente zu verwalten, z.B. die Tonh"ohen der Noten, die L"angen der Notenh"alse, den oberen und unteren Anfangs- und Endpunkt f"ur Bogen. Eine Speicherung beliebig vieler gleichartiger Elemente, z.B. in Vektoren, ist in \TeX\ nicht vorgesehen. Es ist jedoch m"oglich, mit Hilfe von Kontrollsequenzen Listen aufzubauen (\lit\Knuth, \Texbook, Anhang D.2). Eine Liste von $n$ Informationen kann in der Form \begindisplay |\\{|\|}\\{|\|}| $\ldots$ |\\{|\|}| \enddisplay kodiert werden, wobei jedes \ eine wohlgeklammerte Tokenliste ist. Eine parameterlose Kontrollsequenz, z.B. |\liste|, deren Ersetzungstext obige Form besitzt, hei\3t \defi{Listenmacro} (\tex{list macro}). Das leere Listenmacro mit $n=0$ hei\3t |\empty|. Die einzelnen Elemente werden durch |\\| getrennt. Wird |\\| als Kontrollsequenz aufgefa\3t und als Makro mit einem Argument definiert, so k"onnen verschiedene Effekte erzielt werden, wenn es auf die Liste angewendet wird. \Beispiel Mit |\def\\#1{\hbox{#1}}| werden durch Aufruf von |\vbox{\liste}| alle Elemente von Liste untereinander gesetzt. \endBeispiel Durch Umdefinieren von |\\| kann man auch auf die Elemente selber einwirken. Sie k"onnen ausgetauscht werden, neue Elemente an- und eingef"ugt oder alte gel"oscht werden. Solche Listen k"onnen also dazu benutzt werden, Informationen, die zur Bearbeitung der Nachbarschaften notwendig sind, zu speichern. Die Bearbeitung der Nachbarschaften erfolgt in drei Teilschritten: \item{1)}Die Initialisierung der ben"otigten Listen. \item{2)}Die Berechnung der ben"otigten Balken und Bogen nach den in \the\chap.1 und \the\chap.2 beschriebenen Verfahren und das Einf"ugen der ent\-% sprechenden Zeichensatzelemente in die Nachbarschaft. \item{3)} Das endg"ultige Setzen der Nachbarschaft. \subsubsubheading{Die ben"otigten Listen} Im folgenden sollen die ben"otigten Listen beschrieben werden. \item{1)}Als Anfangsinformation m"ussen folgende Listen gegeben sein. Diese sind vom "Ubersetzungspro\-gramm (\lit\Schofer) bereitzustellen: \item{a)}Die Liste aller Elemente der Nachbarschaft (|\elementlist|). \item{} Normalerweise bestehen die Elemente aus jeweils einer Note mit, falls vorhanden, zugeh"origem Vorzeichen und eventuellen Wertpunkten. Des weiteren kann ein Element einen Akkord beinhalten oder andere Notenschriftelemente wie z.B. Taktstriche, zu unterlegende Texte oder Akzente. \item{b)}Die Liste der Tonh"ohen der Noten der Nachbarschaft (|\pitchlist|).\item{} Das $i$-te Element der |\pitchlist| enth"alt die jeweilige Tonh"ohe des $i$-ten Elementes der |\elementlist|. Bei Akkorden kann jedoch nur die Tonh"ohe des Notenkopfes, der f"ur die Verbalkung relevant ist, angegeben werden. Auch Taktstrichen kann eine Tonh"ohe zugewiesen werden. So kann man vor einem Zeilenumbruch einen Bogen "uber einem Taktstrich enden lassen. \item{c)} Die Liste, die Informationen "uber die durch Balken zu verbindenden Noten enth"alt (|\beamlist|). \item{} Die Zahl der Elemente gibt die Anzahl der Balkenreihen $r$ an und die jeweiligen Elemente, welche Noten in der Balkenreihe zu verbinden sind. Wie in \XX \the\chap.1 erw"ahnt, ist nicht allein aus den Notenwerten erkennbar, welche Noten der Nachbarschaft miteinander verbunden werden m"ussen, da die Noten innerhalb der Balkengruppe noch weiter gruppiert werden m"ussen, um die Betonungsverh"altnisse im Takt zu verdeutlichen. \item{} Aus diesem Grund enthalten die Elemente der Balkenlisten eine weitere Liste, die angibt, welche Noten in der jeweiligen Balkenreihe miteinander verbunden werden. \item{} Sei $l$ die Anzahl der Elemente einer solchen ``Unterliste'' und seien die Elemente $n_1$ bis $n_2$ der Nachbarschaft zu verbalken. Das $i$-te Element des Listenelementes ist dabei von der Form: $$\matrix\format\l&\r&\l\\\hbox{A:}\qquad& k_{i_1}-k_{i_2},& \text{ wobei }k_{i_{1,2}}\in\{n_1,\ldots,n_2\} \text{ und }k_{i_1}\leq k_{i_2}\,,\\ \noalign{\text{ oder }} \hbox{B:}\qquad&-k_{i_2},&\text{ wobei }k_{i_2} \text{ wie oben und }k_{i_1} \text{ fehlt.} \endmatrix$$ \item{}F"ur die Folge $(k_{i_1},k_{i_2}),i\in\{1,\ldots,l-1\}$ mu\3 gelten: $$k_{i_1}