\documentclass{article} \pagestyle{empty} \usepackage{xgreek,graphicx} \pagestyle{empty} %\usepackage[greek]{babel} %\usepackage[utf8x]{inputenc} %\usepackage{amsfonts} \usepackage[default]{fontsetup} %\usepackage[gfsartemisia]{fontsetup} %\usepackage[gfsdidot]{fontsetup} %\usepackage[gfsdidotclassic]{fontsetup} %\usepackage[gfsneohellenic]{fontsetup} %\usepackage[cambria]{fontsetup} %\usepackage[lucida]{fontsetup} %\usepackage[kerkis]{fontsetup} %\usepackage[fira]{fontsetup} %\usepackage[times]{fontsetup} %\usepackage[palatino]{fontsetup} %\usepackage[stixtwo]{fontsetup} %\usepackage[neokadmus]{fontsetup} %\usepackage[msgaramond]{fontsetup} %\usepackage[ebgaramond]{fontsetup} %\usepackage[minion]{fontsetup} %\usepackage[neoeuler]{fontsetup} %\usepackage[libertinus]{fontsetup} \newtheorem{theorem}{Theorem} \newtheorem{theoremg}[theorem]{Θεώρημα} \begin{document} \begin{theorem}[Dominated convergence of Lebesgue] %Let $g$ be an Assume that $g$ is an in\-te\-grable func\-tion defined on the measurable set $E$ and hat $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ is a sequence of mea\-sur\-able function so that $|f_n|\leq g$. If $f$ is a function so that $f_n\to f$ almost everywhere then $$\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f.$$ \end{theorem} \textit{Proof}: The function $g-f_n$ is non-negative and thus from Fatou lemma we have that $\int(g-f)\leq\liminf\int(g-f_n)$. Since $|f|\leq g$ and $|f_n|\leq g$ the functions $f$ and $f_n$ are integrable and we have $$\int g-\int f\leq \int g-\limsup\int f_n,$$ so $$\int f\geq \limsup \int f_n.$$ \par \begin{theoremg}[Κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue] Έστω ότι η $g$ είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση ορισμένη στο μετρήσιμο σύνολο $E$ και η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ είναι μια ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων ώστε $|f_n| ≤ g$. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση $f$ ώστε η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ να τείνει στην $f$ σχεδόν παντού. Τότε $$\lim \int f_n =\int f.$$ \end{theoremg} \textit{Απόδειξη}: Η συνάρτηση $g − f_n$ είναι μη αρνητική και άρα από το Λήμμα του Fatou ισχύει $\int (f-g) ≤ \liminf \int (g-f_n)$. Επειδή $|f| ≤ g$ και $|f_n| ≤g$ οι $f$ και $f_n$ είναι ολοκληρώσιμες, έχουμε $$\int g −\int f ≤ \int g − \limsup\int f_n,$$ άρα $$\int f\geq \limsup \int f_n.$$ \end{document}