\documentclass{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage{xgreek,graphicx}
\usepackage[default]{fontsetup}

\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{theoremg}[theorem]{Θεώρημα}
\newtheorem{theoremr}[theorem]{теорема}

\begin{document}

\begin{theorem}[Dominated convergence of Lebesgue]
Assume that $g$ is an
in\-te\-grable func\-tion defined on the measurable set $E$ and hat
  $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ is a sequence of mea\-sur\-able function so that
  $|f_n|\leq g$. If $f$ is a function so that $f_n\to f$ almost everywhere
  then $$\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f.$$
\end{theorem}
\textsc{Proof}: The function $g-f_n$ is non-negative and thus from Fatou lemma
we have that $\int(g-f)\leq\liminf\int(g-f_n)$. Since $|f|\leq g$ and
$|f_n|\leq g$ the  functions $f$ and $f_n$ are integrable and we have
$$\int g-\int f\leq \int g-\limsup\int f_n,$$ so
$$\int f\geq \limsup \int f_n.$$

\begin{theoremg}[Κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue]
  Έστω ότι
η $g$ είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση ορισμένη στο μετρήσιμο σύνολο
$E$ και η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ είναι μια ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων ώστε
$|f_n| ≤ g$. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση $f$
ώστε η  $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ να
τείνει στην $f$ σχεδόν παντού. Τότε
$$\lim \int f_n =\int f.$$
\end{theoremg}
\textsc{Απόδειξη}: Η συνάρτηση $g − f_n$ είναι μη αρνητική και άρα από
το Λήμμα του Fatou ισχύει
$\int (f-g) ≤ \liminf \int (g-f_n)$. Επειδή
$|f| ≤ g$ και $|f_n| ≤g$ οι $f$ και $f_n$ είναι ολοκληρώσιμες, έχουμε
$$\int g −\int f ≤ \int g − \limsup\int f_n,$$
άρα
$$\int f\geq \limsup \int f_n.$$

(Russian translated by Google (probably erratic), hyphenation not enabled):


\begin{theoremr}
Предположим, что $g$ является
интегрируемая функция, определенная на измеримом множестве $E$ и
$(f_n)_{n\in\mathbb N}$ представляет собой последовательность измеримой функции, так что
   $|f_n|\leq g$. Если $f$ является функцией, так что $f_n\to f$ почти везде
   тогда
$$\lim \int f_n =\int f.$$
\end{theoremr}

\newpage

\sffamily

\begin{theorem}[Dominated convergence of Lebesgue]
Assume that $g$ is an
in\-te\-grable func\-tion defined on the measurable set $E$ and hat
  $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ is a sequence of mea\-sur\-able function so that
  $|f_n|\leq g$. If $f$ is a function so that $f_n\to f$ almost everywhere
  then $$\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f.$$
\end{theorem}
\textsc{Proof}: The function $g-f_n$ is non-negative and thus from Fatou lemma
we have that $\int(g-f)\leq\liminf\int(g-f_n)$. Since $|f|\leq g$ and
$|f_n|\leq g$ the  functions $f$ and $f_n$ are integrable and we have
$$\int g-\int f\leq \int g-\limsup\int f_n,$$ so
$$\int f\geq \limsup \int f_n.$$

\begin{theoremg}[Κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue]
  Έστω ότι
η $g$ είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση ορισμένη στο μετρήσιμο σύνολο
$E$ και η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ είναι μια ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων ώστε
$|f_n| ≤ g$. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση $f$
ώστε η  $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ να
τείνει στην $f$ σχεδόν παντού. Τότε
$$\lim \int f_n =\int f.$$
\end{theoremg}
\textsc{Απόδειξη}: Η συνάρτηση $g − f_n$ είναι μη αρνητική και άρα από
το Λήμμα του Fatou ισχύει
$\int (f-g) ≤ \liminf \int (g-f_n)$. Επειδή
$|f| ≤ g$ και $|f_n| ≤g$ οι $f$ και $f_n$ είναι ολοκληρώσιμες, έχουμε
$$\int g −\int f ≤ \int g − \limsup\int f_n,$$
άρα
$$\int f\geq \limsup \int f_n.$$

(Russian translated by Google (probably erratic), hyphenation not enabled):


\begin{theoremr}
Предположим, что $g$ является
интегрируемая функция, определенная на измеримом множестве $E$ и
$(f_n)_{n\in\mathbb N}$ представляет собой последовательность измеримой функции, так что
   $|f_n|\leq g$. Если $f$ является функцией, так что $f_n\to f$ почти везде
   тогда
$$\lim \int f_n =\int f.$$
\end{theoremr}

\newpage

\ttfamily

\begin{theorem}[Dominated convergence of Lebesgue]
Assume that $g$ is an
in\-te\-grable func\-tion defined on the measurable set $E$ and hat
  $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ is a sequence of mea\-sur\-able function so that
  $|f_n|\leq g$. If $f$ is a function so that $f_n\to f$ almost everywhere
  then $$\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f.$$
\end{theorem}
\textsc{Proof}: The function $g-f_n$ is non-negative and thus from Fatou lemma
we have that $\int(g-f)\leq\liminf\int(g-f_n)$. Since $|f|\leq g$ and
$|f_n|\leq g$ the  functions $f$ and $f_n$ are integrable and we have
$$\int g-\int f\leq \int g-\limsup\int f_n,$$ so
$$\int f\geq \limsup \int f_n.$$

\begin{theoremg}[Κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue]
  Έστω ότι
η $g$ είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση ορισμένη στο μετρήσιμο σύνολο
$E$ και η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ είναι μια ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων ώστε
$|f_n| ≤ g$. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση $f$
ώστε η  $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ να
τείνει στην $f$ σχεδόν παντού. Τότε
$$\lim \int f_n =\int f.$$
\end{theoremg}
\textsc{Απόδειξη}: Η συνάρτηση $g − f_n$ είναι μη αρνητική και άρα από
το Λήμμα του Fatou ισχύει
$\int (f-g) ≤ \liminf \int (g-f_n)$. Επειδή
$|f| ≤ g$ και $|f_n| ≤g$ οι $f$ και $f_n$ είναι ολοκληρώσιμες, έχουμε
$$\int g −\int f ≤ \int g − \limsup\int f_n,$$
άρα
$$\int f\geq \limsup \int f_n.$$

(Russian translated by Google (probably erratic), hyphenation not enabled):


\begin{theoremr}
Предположим, что $g$ является
интегрируемая функция, определенная на измеримом множестве $E$ и
$(f_n)_{n\in\mathbb N}$ представляет собой последовательность измеримой функции, так что
   $|f_n|\leq g$. Если $f$ является функцией, так что $f_n\to f$ почти везде
   тогда
$$\lim \int f_n =\int f.$$
\end{theoremr}

\newpage

\noindent 4th century bce Greek:

\begin{center}
  \begin{minipage}{13cm}
    \begin{center}\textivbce{\Large ΥΜΝΟΣ ΗΡΗΣ}\end{center}
{\ivbce
    \begin{verse}
      ΚΥΑΝΕΟΙΣ ΚΟΛΠΟΙΣΙΝ ΕΝΗΜΕΝΗ ΑΕΡΟΜΟΡΦΕ\\
      ΗΡΑ ΠΑΜΒΑΣΙΛΕΙΑ ∆ΙΟΣ ΣΥΛΛΕΚΤΡΕ ΜΑΚΑΙΡΑ\\
      ΨΥΧΟΤΡΟΦΟΥΣ ΑΥΡΑΣ ΘΝΗΤΟΙΣ ΠΑΡΕΧΟΥΣΑ ΠΡΟΣΗΝΕΙΣ\\
      ΟΜΒΡΩΝ ΜΕΝ ΜΗΤΗΡ ΑΝΕΜΩΝ ΤΡΟΦΕ ΠΑΝΤΟΓΕΝΕΘΛΕ\\
      ΧΩΡΙΣ ΓΑΡ ΣΕΘΕΝ ΟΥΔΕΝ ΟΛΩΣ ΖΩΗΣ ΦΥΣΙΝ ΕΓΝΩ\\
      ΚΟΙΝΩΝΕΙΣ ΓΑΡ ΑΠΑΣΙ ΚΕΚΡΑΜΕΝΗ ΗΕΡΙ ΣΕΜΝΩΙ\\
      ΠΑΝΤΩΝ ΓΑΡ ΚΡΑΤΕΕΙΣ ΜΟΥΝΗ ΠΑΝΤΕΣΣΙ Τ ΑΝΑΣΣΕΙΣ\\
      ΗΕΡΙΟΙΣ ΡΟΙΖΟΙΣΙ ΤΙΝΑΣΣΟΜΕΝΗ ΚΑΤΑ ΧΕΥΜΑ\\
      ΑΛΛΑ ΜΑΚΑΙΡΑ ΘΕΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΕ ΠΑΜΒΑΣΙΛΕΙΑ\\
      ΕΛΘΟΙΣ ΕΥΜΕΝΕΟΥΣΑ ΚΑΛΩΙ ΓΗΘΟΝΤΙ ΠΡΟΣΩΠΩΙ
    \end{verse}
}  \end{minipage}
\end{center}

\bigskip

\noindent 6th century bce Greek:
\begin{center}
  \begin{minipage}{13cm}
    \begin{center}\textvibce{\Large ΥΜΝΟΣ ΗΡΗΣ}\end{center}
{\vibce
    \begin{verse}
      ΚΥΑΝΕΟΙΣ ΚΟΛΠΟΙΣΙΝ ΕΝΗΜΕΝΗ ΑΕΡΟΜΟΡΦΕ\\
      ΗΡΑ ΠΑΜΒΑΣΙΛΕΙΑ ∆ΙΟΣ ΣΥΛΛΕΚΤΡΕ ΜΑΚΑΙΡΑ\\
      ΨΥΧΟΤΡΟΦΟΥΣ ΑΥΡΑΣ ΘΝΗΤΟΙΣ ΠΑΡΕΧΟΥΣΑ ΠΡΟΣΗΝΕΙΣ\\
      ΟΜΒΡΩΝ ΜΕΝ ΜΗΤΗΡ ΑΝΕΜΩΝ ΤΡΟΦΕ ΠΑΝΤΟΓΕΝΕΘΛΕ\\
      ΧΩΡΙΣ ΓΑΡ ΣΕΘΕΝ ΟΥΔΕΝ ΟΛΩΣ ΖΩΗΣ ΦΥΣΙΝ ΕΓΝΩ\\
      ΚΟΙΝΩΝΕΙΣ ΓΑΡ ΑΠΑΣΙ ΚΕΚΡΑΜΕΝΗ ΗΕΡΙ ΣΕΜΝΩΙ\\
      ΠΑΝΤΩΝ ΓΑΡ ΚΡΑΤΕΕΙΣ ΜΟΥΝΗ ΠΑΝΤΕΣΣΙ Τ ΑΝΑΣΣΕΙΣ\\
      ΗΕΡΙΟΙΣ ΡΟΙΖΟΙΣΙ ΤΙΝΑΣΣΟΜΕΝΗ ΚΑΤΑ ΧΕΥΜΑ\\
      ΑΛΛΑ ΜΑΚΑΙΡΑ ΘΕΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΕ ΠΑΜΒΑΣΙΛΕΙΑ\\
      ΕΛΘΟΙΣ ΕΥΜΕΝΕΟΥΣΑ ΚΑΛΩΙ ΓΗΘΟΝΤΙ ΠΡΟΣΩΠΩΙ
    \end{verse}
}  \end{minipage}
\end{center}

\end{document}
