\documentclass{article} \pagestyle{empty} \usepackage{xgreek,graphicx} \usepackage{fontspec} \usepackage{unicode-math} \RequirePackage{fontspec} \RequirePackage{unicode-math} \setmainfont[% ItalicFont=NewCM10-Italic.otf,% BoldFont=NewCM10-Bold.otf,% BoldItalicFont=NewCM10-BoldItalic.otf,% SmallCapsFeatures={Numbers=OldStyle}]{NewCM10-Regular.otf} \setsansfont[% ItalicFont=NewCMSans10-Oblique.otf,% BoldFont=NewCMSans10-Bold.otf,% BoldItalicFont=NewCMSans10-BoldOblique.otf,% SmallCapsFeatures={Numbers=OldStyle}]{NewCMSans10-Regular.otf} \setmonofont[ItalicFont=NewCMMono10-Italic.otf,% BoldFont=NewCMMono10-Bold.otf,% BoldItalicFont=NewCMMono10-BoldOblique.otf,% SmallCapsFeatures={Numbers=OldStyle}]{NewCMMono10-Regular.otf} \setmathfont{NewCMMath-Regular.otf} \newcommand{\tttextsc}[1]{{\ttscshape#1}} \newtheorem{theorem}{Theorem} \newtheorem{theoremg}[theorem]{Θεώρημα} \newtheorem{theoremr}[theorem]{теорема} \begin{document} \begin{theorem}[Dominated convergence of Lebesgue] Assume that $g$ is an in\-te\-grable func\-tion defined on the measurable set $E$ and hat $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ is a sequence of mea\-sur\-able function so that $|f_n|\leq g$. If $f$ is a function so that $f_n\to f$ almost everywhere then $$\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f.$$ \end{theorem} \textsc{Proof}: The function $g-f_n$ is non-negative and thus from Fatou lemma we have that $\int(g-f)\leq\liminf\int(g-f_n)$. Since $|f|\leq g$ and $|f_n|\leq g$ the functions $f$ and $f_n$ are integrable and we have $$\int g-\int f\leq \int g-\limsup\int f_n,$$ so $$\int f\geq \limsup \int f_n.$$ \begin{theoremg}[Κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue] Έστω ότι η $g$ είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση ορισμένη στο μετρήσιμο σύνολο $E$ και η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ είναι μια ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων ώστε $|f_n| ≤ g$. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση $f$ ώστε η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ να τείνει στην $f$ σχεδόν παντού. Τότε $$\lim \int f_n =\int f.$$ \end{theoremg} \textsc{Απόδειξη}: Η συνάρτηση $g − f_n$ είναι μη αρνητική και άρα από το Λήμμα του Fatou ισχύει $\int (f-g) ≤ \liminf \int (g-f_n)$. Επειδή $|f| ≤ g$ και $|f_n| ≤g$ οι $f$ και $f_n$ είναι ολοκληρώσιμες, έχουμε $$\int g −\int f ≤ \int g − \limsup\int f_n,$$ άρα $$\int f\geq \limsup \int f_n.$$ (Russian translated by Google (probably erratic), hyphenation not enabled): \begin{theoremr} Предположим, что $g$ является интегрируемая функция, определенная на измеримом множестве $E$ и $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ представляет собой последовательность измеримой функции, так что $|f_n|\leq g$. Если $f$ является функцией, так что $f_n\to f$ почти везде тогда $$\lim \int f_n =\int f.$$ \end{theoremr} \newpage \sffamily \begin{theorem}[Dominated convergence of Lebesgue] Assume that $g$ is an in\-te\-grable func\-tion defined on the measurable set $E$ and hat $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ is a sequence of mea\-sur\-able function so that $|f_n|\leq g$. If $f$ is a function so that $f_n\to f$ almost everywhere then $$\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f.$$ \end{theorem} \textsc{Proof}: The function $g-f_n$ is non-negative and thus from Fatou lemma we have that $\int(g-f)\leq\liminf\int(g-f_n)$. Since $|f|\leq g$ and $|f_n|\leq g$ the functions $f$ and $f_n$ are integrable and we have $$\int g-\int f\leq \int g-\limsup\int f_n,$$ so $$\int f\geq \limsup \int f_n.$$ \begin{theoremg}[Κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue] Έστω ότι η $g$ είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση ορισμένη στο μετρήσιμο σύνολο $E$ και η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ είναι μια ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων ώστε $|f_n| ≤ g$. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση $f$ ώστε η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ να τείνει στην $f$ σχεδόν παντού. Τότε $$\lim \int f_n =\int f.$$ \end{theoremg} \textsc{Απόδειξη}: Η συνάρτηση $g − f_n$ είναι μη αρνητική και άρα από το Λήμμα του Fatou ισχύει $\int (f-g) ≤ \liminf \int (g-f_n)$. Επειδή $|f| ≤ g$ και $|f_n| ≤g$ οι $f$ και $f_n$ είναι ολοκληρώσιμες, έχουμε $$\int g −\int f ≤ \int g − \limsup\int f_n,$$ άρα $$\int f\geq \limsup \int f_n.$$ (Russian translated by Google (probably erratic), hyphenation not enabled): \begin{theoremr} Предположим, что $g$ является интегрируемая функция, определенная на измеримом множестве $E$ и $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ представляет собой последовательность измеримой функции, так что $|f_n|\leq g$. Если $f$ является функцией, так что $f_n\to f$ почти везде тогда $$\lim \int f_n =\int f.$$ \end{theoremr} \newpage \ttfamily \begin{theorem}[Dominated convergence of Lebesgue] Assume that $g$ is an in\-te\-grable func\-tion defined on the measurable set $E$ and hat $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ is a sequence of mea\-sur\-able function so that $|f_n|\leq g$. If $f$ is a function so that $f_n\to f$ almost everywhere then $$\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f.$$ \end{theorem} \textsc{Proof}: The function $g-f_n$ is non-negative and thus from Fatou lemma we have that $\int(g-f)\leq\liminf\int(g-f_n)$. Since $|f|\leq g$ and $|f_n|\leq g$ the functions $f$ and $f_n$ are integrable and we have $$\int g-\int f\leq \int g-\limsup\int f_n,$$ so $$\int f\geq \limsup \int f_n.$$ \begin{theoremg}[Κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue] Έστω ότι η $g$ είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση ορισμένη στο μετρήσιμο σύνολο $E$ και η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ είναι μια ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων ώστε $|f_n| ≤ g$. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση $f$ ώστε η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ να τείνει στην $f$ σχεδόν παντού. Τότε $$\lim \int f_n =\int f.$$ \end{theoremg} \textsc{Απόδειξη}: Η συνάρτηση $g − f_n$ είναι μη αρνητική και άρα από το Λήμμα του Fatou ισχύει $\int (f-g) ≤ \liminf \int (g-f_n)$. Επειδή $|f| ≤ g$ και $|f_n| ≤g$ οι $f$ και $f_n$ είναι ολοκληρώσιμες, έχουμε $$\int g −\int f ≤ \int g − \limsup\int f_n,$$ άρα $$\int f\geq \limsup \int f_n.$$ (Russian translated by Google (probably erratic), hyphenation not enabled): \begin{theoremr} Предположим, что $g$ является интегрируемая функция, определенная на измеримом множестве $E$ и $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ представляет собой последовательность измеримой функции, так что $|f_n|\leq g$. Если $f$ является функцией, так что $f_n\to f$ почти везде тогда $$\lim \int f_n =\int f.$$ \end{theoremr} \end{document}