From e0c6872cf40896c7be36b11dcc744620f10adf1d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Norbert Preining <norbert@preining.info>
Date: Mon, 2 Sep 2019 13:46:59 +0900
Subject: Initial commit

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 support/chklref/test/test2.tex | 358 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 358 insertions(+)
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new file mode 100644
index 0000000000..1b1b98b031
--- /dev/null
+++ b/support/chklref/test/test2.tex
@@ -0,0 +1,358 @@
+\documentclass[a4paper,11pt,twoside]{article}
+\usepackage{a4wide}
+\usepackage{latexsym}
+\usepackage[francais]{babel}
+\usepackage{amssymb, amsmath, amsthm}
+\usepackage[latin1]{inputenc}
+\usepackage{enumitem}
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+
+
+%% --------------------------------------------
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+%% \textheight=9.0in
+%% --------------------------------------------
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+%% math envs
+\theoremstyle{plain}
+\newtheorem{thm}{Théorème}
+\newtheorem{prop}{Proposition}
+\newtheorem{lemma}{Lemme}
+\newtheorem*{remark}{Remarque}
+\newtheorem{cor}{Corollary}
+\newtheorem*{rem}{Remarque}
+\newtheorem*{algo}{Algorithme}
+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{exo}{Exercice}
+\renewcommand{\qedsymbol}{$\blacksquare$}
+
+
+%%%%%% new macros
+
+\def\ca{{\mathcal A}}
+\def\cb{{\mathcal B}}
+\def\cc{{\mathcal C}}
+\def\cd{{\mathcal D}}
+\def\ce{{\mathcal E}}
+\def\cf{{\mathcal F}}
+\def\cg{{\mathcal G}}
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+\def\cj{{\mathcal J}}
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+\def\S{\Sigma}
+\def\Z{{\mathbb Z}}
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+\def\rpartial{{\rm d}}
+\def\ind#1{{\bf 1}_{\left\{ #1 \right\}}}
+\def\id{{\mathcal I}}
+\def\abs#1{\left|#1\right|}
+\def\norm#1{\mathop{\left\| #1 \right\|}\nolimits}
+\def\supp{{\rm supp}\;}
+\def\Det{{\rm det}\;}
+\def\Card{{\rm Card}\;}
+\def\inv#1{\mathop{\frac{1}{ #1}}\nolimits}
+\def\expp#1{\mathop {\mathrm{e}^{ #1}}}
+\def\interior#1{\mathop {\mathrm{int}(#1)}}
+\def\dpart#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
+\def\dpartsec#1#2{\frac{\partial^2 #1}{\partial {#2}^2}}
+\def\dpart#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
+\def\d#1#2{\frac{d #1}{d #2}}
+\def\tr#1{{#1}^{{\scriptstyle\mathrm T}}}
+
+%% proba et espérances
+\def\proba#1{\P\left(#1 \right)}
+\def\esp#1{\E\left(#1 \right)}
+\def\espbracket#1{\E\left[#1 \right]}
+\def\espcond#1#2{\E\left(#1 \left| #2 \right. \right)}
+\def\espbracketcond#1#2{\E\left[#1 \left| #2 \right. \right]}
+\def\Cov{\mathop{\rm Cov}\nolimits}
+\def\Var{\mathop{\rm Var}\nolimits}
+\def\Covop#1{\mathop{\rm Cov}\nolimits\left(#1\right)}
+\def\Varop#1{\mathop{\rm Var}\nolimits\left(#1\right)}
+
+%% a few abbrevs
+\def\BS{Black Scholes}
+
+
+\title{Projets du cours MAE52}
+\date{\today}
+\author{J\'er\^ome Lelong}
+
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+On rappelle que dans le modèle de \BS\ l'évolution de l'actif $(S_t)_{0\le t \le
+  T}$ est modélisée par la dynamique
+\begin{align}
+  \label{alig}
+  dS_t=S_t(rdt+\sigma dW_t), \quad S_0=x
+\end{align}
+
+
+\begin{multline}
+  \label{mult}
+  dS_t=S_t(rdt+\sigma dW_t), \quad S_0=x
+\end{multline}
+où $\sigma>0$ représente la volatilité du modèle et $r>0$ représente le taux
+d'intérêt sans risque.
+
+
+\section{Méthodes d'arbre pour les options américaines}
+
+On proposer de calculer le prix du put américain dans un modèle d'arbre.
+\begin{itemize}
+\item Implémenter la résolution de l'équation de programmation dynamique dans un
+  modèle d'arbre.
+\item Comparer les résultats pour les modèles de Cox Ross Rubinstein et de
+  Kamrad Ritchken
+\item Etudier la vitesse de convergence quand le pas de l'arbre tend vers $0$.
+\end{itemize}
+
+
+\section{Inéquation aux dérivées partielles pour les options américaines}
+
+
+On se propose de calculer le prix du put américain dans le modèle de Black
+Scholes en résolvant l'inéquation aux dérivées partielles satisfaites par sa
+fonction prix.
+
+\subsection{Formulation du problème}
+
+
+On considère l'opérateur elliptique $A$ défini par
+\begin{equation*}
+  \cl = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \left(r -
+    \frac{\sigma^2}{2}\right) \frac{\partial}{\partial x} -r
+\end{equation*}
+où $r$ et $\sigma$ sont deux constantes réelles.
+On se donne une fonction $f : \R \longrightarrow \R_+$, un ouvert $\co_l = ]-l, l[$
+et on cherche à résoudre le problème suivant
+\begin{equation}
+  \label{eq:ineq_diff}
+  \tag{$E$}
+  \left\{
+    \begin{array}{l}
+      \dpart{v}{t}(t,x) + \cl v(t,x) \leq 0 \quad \mbox{dans $[0,T] \times \co_l$}\\
+      v(t,x) \geq f(x)\\
+      (v(t,x) - f(x)) \left(\dpart{v}{t}(t,x) + \cl v(t,x)\right) = 0 \quad \mbox{dans $[0,T]
+        \times \co_l$}\\ 
+      v(T,x) = f(x)\\
+      \dpart{v}{x}(t, \pm l) = 0.
+    \end{array}
+  \right.
+\end{equation}
+
+Soit $v(t, y)$ le prix à l'instant $t$ du put américain dans le modèle de
+Black Scholes si le sous-jacent vaut $\expp{y}$. La fonction $v$ est solution du
+système~\ref{eq:ineq_diff} avec $l=\infty$ et $f(x) = (K - \expp{x})_+$.
+
+\subsection{Méthode de résolution}
+\subsubsection{discrétisation du système d'inéquations}
+
+Nous allons maintenant voir comment résoudre le système~(\ref{eq:ineq_diff}) par une
+méthode numérique. On se propose d'utiliser une méthode de différences finies pour
+discrétiser le système à la fois en temps et en espace.
+
+Soit $N \in \N^*$, on note $h = \frac{2l}{N+1}$ et $x_i = -l + ih$ pour $0 \leq i
+\leq N+1$. On définit le vecteur $f_h$ par $f_h^i=f(x_i)$.
+
+Pour toute fonction $u: \co_l \longrightarrow \R$, on adopte la notation $u_h =
+{(u_h^i)}_{1 \leq i \leq N} = {(u(x_i))}_{1 \leq i \leq N}$. On considère la
+discrétisation de l'opérateur $\cl$ suivante
+\begin{equation*}
+  (\cl_h u_h)_i = \frac{\sigma^2}{2h^2} (u_h^{i+1} - 2 u_h^i + u_h^{i-1}) + \left(r -
+    \frac{\sigma^2}{2}\right) \frac{1}{2h}  (u_h^{i+1} - u_h^{i-1}) -r u_h^i
+\end{equation*}
+L'opérateur $\cl_h$ peut donc être représenté par la matrice tridiagonale suivant
+\[
+\cl_h = 
+\begin{pmatrix}
+  \beta & \gamma & 0 & \dots & 0 & 0 \\
+  \alpha & \beta & \gamma & 0 & \dots & 0 \\
+  0 & \alpha & \beta & \gamma & \dots & 0 \\
+  0 & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
+  0 & 0 & \dots & \alpha & \beta & \gamma \\
+  0 & 0 & 0 & \dots & \alpha & \beta 
+\end{pmatrix}
+\]
+avec
+\[
+\begin{cases}
+  \alpha  = & \frac{\sigma^2}{2 h^2} - \frac{1}{2h} \left(r -
+    \frac{\sigma^2}{2} \right), \\
+  \beta  = & -\frac{\sigma^2}{h^2} - r, \\
+  \gamma  = & \frac{\sigma^2}{2 h^2} + \frac{1}{2h} \left(r -
+    \frac{\sigma^2}{2}\right).
+\end{cases}
+\]
+Une fois cette discrétisation en espace effectuée, on se ramène à une équation
+différentielle ordinaire ne portant que sur le temps
+\begin{equation}
+  \label{eq:ineq_diff_h}\tag{$E_h$}
+  \begin{cases}
+    \displaystyle \d{u_h}{t}(t) + \cl_h u_h(t) \leq 0 \quad \forall t \in
+    [0,T],\\
+    u_h(t) \geq f_h\\
+    (u_h(t) - f) \left(\d{u_h}{t}(t) + \cl_h u_h(t)\right) = 0 \quad \mbox{dans
+      $[0,T]$}\\  
+    u_h(T) = f_h\\
+    \d{v}{x}(t, \pm l) = 0.
+  \end{cases}
+\end{equation}
+Si $x$ et $y$ sont deux vecteurs de $\R^d$, on note $x \leq y$ pour $x_i \leq y_i
+\; \forall 1 \leq i \leq d$. Il ne reste plus alors qu'à discrétiser
+l'équation~(\ref{eq:ineq_diff_h}) grâce à des $\theta-$schémas. On note $k =
+\frac{T}{M}$ le pas de discrétisation en temps.  On approche alors la solution $u_h$
+de~(\ref{eq:ineq_diff_h}) à l'instant $mk$ par $u_{h,k}^m$ défini par
+\begin{equation}
+  \label{eq:sys_discre_k_h}\tag{$E_{h,k}$}
+  \begin{cases}
+    u_{h,k}^M = f_h, \\
+    \mbox{Et pour $0 \leq m \leq M-1$}\\ 
+    u_{h,k}^m \geq f_h \\ 
+    u_{h,k}^{m+1} - u_{h,k}^m + k (\theta \cl_h u_{h,k}^m + (1 -
+    \theta) \cl_h u_{h,k}^{m+1})   \leq 0 \\
+    \left(u_{h,k}^{m+1} - u_{h,k}^m + k (\theta \cl_h u_{h,k}^m + (1 -
+      \theta) \cl_h u_{h,k}^{m+1}) , u_{h,k}^m - f_h\right) = 0
+  \end{cases}
+\end{equation}
+où $(x,y)$ est le produit scalaire de $\R^N$.
+
+En introduisant les notations matricielles suivantes
+\begin{equation*}
+  \begin{cases}
+    T = & I - k\theta \cl_h\\
+    G  = & \left(I + k(1-\theta) \cl_h\right) u_{h,k}^{m+1}\\
+    M  = & \left(I + k(1-\theta) \cl_h\right)
+  \end{cases}
+\end{equation*}
+le système~(\ref{eq:sys_discre_k_h}) se réécrit
+\begin{equation*}
+  \begin{cases}
+    T u_{h,k}^m - M u_{h,k}^{m+1} & \geq  0 \\
+    u_{h,k}^m - u_{h,k}^M & \geq  0\\
+    \tr{(T u_{h,k}^m  - M u_{h,k}^{m+1})} (u_{h,k}^m - u_{h,k}^M) & = 0.
+  \end{cases}
+\end{equation*}
+La matrice $T$ est tridiagonale
+\[
+T = 
+\begin{pmatrix}
+  a + b & c & 0 & \dots & 0 & 0 \\
+  a & b & c & 0 & \dots & 0 \\
+  0 & a & b & c & \dots & 0 \\
+  0 & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
+  0 & 0 & \dots & a & b & c \\
+  0 & 0 & 0 & \dots & a & b+c 
+\end{pmatrix}
+\]
+avec 
+\[
+\begin{pmatrix}
+  a & = & \theta k \left( -\frac{\sigma^2}{2 h^2} + \frac{1}{2h} \left(r -
+      \frac{\sigma^2}{2} \right) \right) \\
+  b & = & 1 + \theta k \left(\frac{\sigma^2}{h^2} + r\right) \\
+  c & = & - \theta k \left( \frac{\sigma^2}{2 h^2} + \frac{1}{2h} \left(r -
+      \frac{\sigma^2}{2} \right) \right).
+\end{pmatrix}
+\]
+A chaque pas $m$ de $M-1$ à $1$, il s'agit de résoudre un système d'inéquations linéaires
+
+
+\subsubsection{algorithme de résolution}
+
+Il existe plusieurs algorithmes permettant de résoudre un tel système d'inéquations
+linéaires. On propose ici d'utiliser la méthode dite par troncature.
+\begin{algo}
+  Pour $m$ variant de $M-1$ à $1$, on résout 
+  \begin{equation*}
+    T x = M u_{h,k}^{m+1},
+  \end{equation*}
+  puis on pose
+  \begin{equation*}
+    u_{h,k}^m = \max(x, f_h).
+  \end{equation*}
+\end{algo}
+Pour assurer la convergence de l'algorithme ci-dessus, on veillera à ce que les paramètres
+vérifient les conditions suivantes
+\begin{equation*}
+  \abs{r -\frac{\sigma^2}{2}} \leq \frac{\sigma^2}{h} \quad \mbox{et} \quad
+  \frac{k}{2h} \abs{r -\frac{\sigma^2}{2}} < 1.
+\end{equation*}
+Ces conditions assurent que la matrice $T$ est coercive (c.à.d $\tr{x}Tx \leq c
+\tr{x}x$ avec $c>0$).
+
+\subsection{Travail demandé}
+
+\begin{itemize}
+\item Résoudre le système~\eqref{eq:ineq_diff} par la méthode détaillée
+  ci-dessus.
+\item Dans la résolution du système linéaire, on s''efforcera de tirer profit
+  dans la structure tribande de la matrice en utilisant une décomposition de
+  type $Q = LU$, avec $L$ triangulaire inférieure et $U$ triangulaire. Ainsi le
+  système $Qx = b$ se résout en 2 étapes $Ly=b$ puis $Ux =y$.
+\item On s'intéressa aux cas $\theta=0$, $\theta=1/2$ et $\theta=1$. Comparer la
+  convergence pour ces différentes valeurs.
+\end{itemize}
+
+\section{Méthode de Monte Carlo pour les options américaines}
+
+On se propose de calculer le prix du put américain dans le modèle de Black
+Scholes par une méthode de Monte Carlo. 
+
+\subsubsection*{Travail demandé}
+\begin{itemize}
+\item Il s'agit d'implémenter l'algorithme de
+  Longstaff et Schwartz en dimension $1$.
+
+  Pour la partie régression de l'algorithme, on pourra par exemple utiliser la
+  base canonique des polynômes de degré inférieur à $n$ $(x^d, 0 \le d \le n)$. On
+  pourra également ajouter à cette famille libre la fonction de payoff elle-même.
+
+\item Etudier la convergence en fonction du nombre de pas de temps, du nombre de
+  fonctions de base et de nombre de tirages Monte Carlo.
+\end{itemize}
+
+
+\input{test21.tex}
+
+\input test23.tex
+
+\begin{itemize}
+\item \label{it:1} unused label
+\end{itemize}
+
+\include{test22}
+
+\begin{itemize}
+\item \label{it:2} unused label
+\end{itemize}
+
+
+
+\end{document}
+
-- 
cgit v1.2.3

