From e0c6872cf40896c7be36b11dcc744620f10adf1d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Norbert Preining Date: Mon, 2 Sep 2019 13:46:59 +0900 Subject: Initial commit --- support/chklref/test/test2.tex | 358 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 358 insertions(+) create mode 100644 support/chklref/test/test2.tex (limited to 'support/chklref/test/test2.tex') diff --git a/support/chklref/test/test2.tex b/support/chklref/test/test2.tex new file mode 100644 index 0000000000..1b1b98b031 --- /dev/null +++ b/support/chklref/test/test2.tex @@ -0,0 +1,358 @@ +\documentclass[a4paper,11pt,twoside]{article} +\usepackage{a4wide} +\usepackage{latexsym} +\usepackage[francais]{babel} +\usepackage{amssymb, amsmath, amsthm} +\usepackage[latin1]{inputenc} +\usepackage{enumitem} +\usepackage[bookmarks=true, colorlinks=true, linkcolor=blue, hypertexnames=false]{hyperref} + + +%% -------------------------------------------- +\hbadness=10000 +\emergencystretch=\hsize +\tolerance=9999 +%% \textheight=9.0in +%% -------------------------------------------- +\parindent=0pt +%% math envs +\theoremstyle{plain} +\newtheorem{thm}{Théorème} +\newtheorem{prop}{Proposition} +\newtheorem{lemma}{Lemme} +\newtheorem*{remark}{Remarque} +\newtheorem{cor}{Corollary} +\newtheorem*{rem}{Remarque} +\newtheorem*{algo}{Algorithme} +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{exo}{Exercice} +\renewcommand{\qedsymbol}{$\blacksquare$} + + +%%%%%% new macros + +\def\ca{{\mathcal A}} +\def\cb{{\mathcal B}} +\def\cc{{\mathcal C}} +\def\cd{{\mathcal D}} +\def\ce{{\mathcal E}} +\def\cf{{\mathcal F}} +\def\cg{{\mathcal G}} +\def\ch{{\mathcal H}} +\def\ci{{\mathcal I}} +\def\cj{{\mathcal J}} +\def\ck{{\mathcal K}} +\def\cl{{\mathcal L}} +\def\cn{{\mathcal N}} +\def\cm{{\mathcal M}} +\def\co{{\mathcal O}} +\def\cp{{\mathcal P}} +\def\cs{{\mathcal S}} +\def\cu{{\mathcal U}} +\def\cv{{\mathcal V}} +\def\cw{{\mathcal W}} +\def\cx{{\mathcal X}} +\def\C{{\mathbb C}} +\def\D{{\mathbb D}} +\def\E{{\mathbb E}} +\def\L{{\mathbb L}} +\def\N{{\mathbb N}} +\def\P{{\mathbb P}} +\def\Q{{\mathbb Q}} +\def\R{{\mathbb R}} +\def\S{\Sigma} +\def\Z{{\mathbb Z}} +\def\s{\star} +\def\rP{{\rm P}} +\def\rQ{{\rm Q}} +\def\rpartial{{\rm d}} +\def\ind#1{{\bf 1}_{\left\{ #1 \right\}}} +\def\id{{\mathcal I}} +\def\abs#1{\left|#1\right|} +\def\norm#1{\mathop{\left\| #1 \right\|}\nolimits} +\def\supp{{\rm supp}\;} +\def\Det{{\rm det}\;} +\def\Card{{\rm Card}\;} +\def\inv#1{\mathop{\frac{1}{ #1}}\nolimits} +\def\expp#1{\mathop {\mathrm{e}^{ #1}}} +\def\interior#1{\mathop {\mathrm{int}(#1)}} +\def\dpart#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} +\def\dpartsec#1#2{\frac{\partial^2 #1}{\partial {#2}^2}} +\def\dpart#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} +\def\d#1#2{\frac{d #1}{d #2}} +\def\tr#1{{#1}^{{\scriptstyle\mathrm T}}} + +%% proba et espérances +\def\proba#1{\P\left(#1 \right)} +\def\esp#1{\E\left(#1 \right)} +\def\espbracket#1{\E\left[#1 \right]} +\def\espcond#1#2{\E\left(#1 \left| #2 \right. \right)} +\def\espbracketcond#1#2{\E\left[#1 \left| #2 \right. \right]} +\def\Cov{\mathop{\rm Cov}\nolimits} +\def\Var{\mathop{\rm Var}\nolimits} +\def\Covop#1{\mathop{\rm Cov}\nolimits\left(#1\right)} +\def\Varop#1{\mathop{\rm Var}\nolimits\left(#1\right)} + +%% a few abbrevs +\def\BS{Black Scholes} + + +\title{Projets du cours MAE52} +\date{\today} +\author{J\'er\^ome Lelong} + + +\begin{document} +\maketitle + +On rappelle que dans le modèle de \BS\ l'évolution de l'actif $(S_t)_{0\le t \le + T}$ est modélisée par la dynamique +\begin{align} + \label{alig} + dS_t=S_t(rdt+\sigma dW_t), \quad S_0=x +\end{align} + + +\begin{multline} + \label{mult} + dS_t=S_t(rdt+\sigma dW_t), \quad S_0=x +\end{multline} +où $\sigma>0$ représente la volatilité du modèle et $r>0$ représente le taux +d'intérêt sans risque. + + +\section{Méthodes d'arbre pour les options américaines} + +On proposer de calculer le prix du put américain dans un modèle d'arbre. +\begin{itemize} +\item Implémenter la résolution de l'équation de programmation dynamique dans un + modèle d'arbre. +\item Comparer les résultats pour les modèles de Cox Ross Rubinstein et de + Kamrad Ritchken +\item Etudier la vitesse de convergence quand le pas de l'arbre tend vers $0$. +\end{itemize} + + +\section{Inéquation aux dérivées partielles pour les options américaines} + + +On se propose de calculer le prix du put américain dans le modèle de Black +Scholes en résolvant l'inéquation aux dérivées partielles satisfaites par sa +fonction prix. + +\subsection{Formulation du problème} + + +On considère l'opérateur elliptique $A$ défini par +\begin{equation*} + \cl = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \left(r - + \frac{\sigma^2}{2}\right) \frac{\partial}{\partial x} -r +\end{equation*} +où $r$ et $\sigma$ sont deux constantes réelles. +On se donne une fonction $f : \R \longrightarrow \R_+$, un ouvert $\co_l = ]-l, l[$ +et on cherche à résoudre le problème suivant +\begin{equation} + \label{eq:ineq_diff} + \tag{$E$} + \left\{ + \begin{array}{l} + \dpart{v}{t}(t,x) + \cl v(t,x) \leq 0 \quad \mbox{dans $[0,T] \times \co_l$}\\ + v(t,x) \geq f(x)\\ + (v(t,x) - f(x)) \left(\dpart{v}{t}(t,x) + \cl v(t,x)\right) = 0 \quad \mbox{dans $[0,T] + \times \co_l$}\\ + v(T,x) = f(x)\\ + \dpart{v}{x}(t, \pm l) = 0. + \end{array} + \right. +\end{equation} + +Soit $v(t, y)$ le prix à l'instant $t$ du put américain dans le modèle de +Black Scholes si le sous-jacent vaut $\expp{y}$. La fonction $v$ est solution du +système~\ref{eq:ineq_diff} avec $l=\infty$ et $f(x) = (K - \expp{x})_+$. + +\subsection{Méthode de résolution} +\subsubsection{discrétisation du système d'inéquations} + +Nous allons maintenant voir comment résoudre le système~(\ref{eq:ineq_diff}) par une +méthode numérique. On se propose d'utiliser une méthode de différences finies pour +discrétiser le système à la fois en temps et en espace. + +Soit $N \in \N^*$, on note $h = \frac{2l}{N+1}$ et $x_i = -l + ih$ pour $0 \leq i +\leq N+1$. On définit le vecteur $f_h$ par $f_h^i=f(x_i)$. + +Pour toute fonction $u: \co_l \longrightarrow \R$, on adopte la notation $u_h = +{(u_h^i)}_{1 \leq i \leq N} = {(u(x_i))}_{1 \leq i \leq N}$. On considère la +discrétisation de l'opérateur $\cl$ suivante +\begin{equation*} + (\cl_h u_h)_i = \frac{\sigma^2}{2h^2} (u_h^{i+1} - 2 u_h^i + u_h^{i-1}) + \left(r - + \frac{\sigma^2}{2}\right) \frac{1}{2h} (u_h^{i+1} - u_h^{i-1}) -r u_h^i +\end{equation*} +L'opérateur $\cl_h$ peut donc être représenté par la matrice tridiagonale suivant +\[ +\cl_h = +\begin{pmatrix} + \beta & \gamma & 0 & \dots & 0 & 0 \\ + \alpha & \beta & \gamma & 0 & \dots & 0 \\ + 0 & \alpha & \beta & \gamma & \dots & 0 \\ + 0 & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & \dots & \alpha & \beta & \gamma \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & \alpha & \beta +\end{pmatrix} +\] +avec +\[ +\begin{cases} + \alpha = & \frac{\sigma^2}{2 h^2} - \frac{1}{2h} \left(r - + \frac{\sigma^2}{2} \right), \\ + \beta = & -\frac{\sigma^2}{h^2} - r, \\ + \gamma = & \frac{\sigma^2}{2 h^2} + \frac{1}{2h} \left(r - + \frac{\sigma^2}{2}\right). +\end{cases} +\] +Une fois cette discrétisation en espace effectuée, on se ramène à une équation +différentielle ordinaire ne portant que sur le temps +\begin{equation} + \label{eq:ineq_diff_h}\tag{$E_h$} + \begin{cases} + \displaystyle \d{u_h}{t}(t) + \cl_h u_h(t) \leq 0 \quad \forall t \in + [0,T],\\ + u_h(t) \geq f_h\\ + (u_h(t) - f) \left(\d{u_h}{t}(t) + \cl_h u_h(t)\right) = 0 \quad \mbox{dans + $[0,T]$}\\ + u_h(T) = f_h\\ + \d{v}{x}(t, \pm l) = 0. + \end{cases} +\end{equation} +Si $x$ et $y$ sont deux vecteurs de $\R^d$, on note $x \leq y$ pour $x_i \leq y_i +\; \forall 1 \leq i \leq d$. Il ne reste plus alors qu'à discrétiser +l'équation~(\ref{eq:ineq_diff_h}) grâce à des $\theta-$schémas. On note $k = +\frac{T}{M}$ le pas de discrétisation en temps. On approche alors la solution $u_h$ +de~(\ref{eq:ineq_diff_h}) à l'instant $mk$ par $u_{h,k}^m$ défini par +\begin{equation} + \label{eq:sys_discre_k_h}\tag{$E_{h,k}$} + \begin{cases} + u_{h,k}^M = f_h, \\ + \mbox{Et pour $0 \leq m \leq M-1$}\\ + u_{h,k}^m \geq f_h \\ + u_{h,k}^{m+1} - u_{h,k}^m + k (\theta \cl_h u_{h,k}^m + (1 - + \theta) \cl_h u_{h,k}^{m+1}) \leq 0 \\ + \left(u_{h,k}^{m+1} - u_{h,k}^m + k (\theta \cl_h u_{h,k}^m + (1 - + \theta) \cl_h u_{h,k}^{m+1}) , u_{h,k}^m - f_h\right) = 0 + \end{cases} +\end{equation} +où $(x,y)$ est le produit scalaire de $\R^N$. + +En introduisant les notations matricielles suivantes +\begin{equation*} + \begin{cases} + T = & I - k\theta \cl_h\\ + G = & \left(I + k(1-\theta) \cl_h\right) u_{h,k}^{m+1}\\ + M = & \left(I + k(1-\theta) \cl_h\right) + \end{cases} +\end{equation*} +le système~(\ref{eq:sys_discre_k_h}) se réécrit +\begin{equation*} + \begin{cases} + T u_{h,k}^m - M u_{h,k}^{m+1} & \geq 0 \\ + u_{h,k}^m - u_{h,k}^M & \geq 0\\ + \tr{(T u_{h,k}^m - M u_{h,k}^{m+1})} (u_{h,k}^m - u_{h,k}^M) & = 0. + \end{cases} +\end{equation*} +La matrice $T$ est tridiagonale +\[ +T = +\begin{pmatrix} + a + b & c & 0 & \dots & 0 & 0 \\ + a & b & c & 0 & \dots & 0 \\ + 0 & a & b & c & \dots & 0 \\ + 0 & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & \dots & a & b & c \\ + 0 & 0 & 0 & \dots & a & b+c +\end{pmatrix} +\] +avec +\[ +\begin{pmatrix} + a & = & \theta k \left( -\frac{\sigma^2}{2 h^2} + \frac{1}{2h} \left(r - + \frac{\sigma^2}{2} \right) \right) \\ + b & = & 1 + \theta k \left(\frac{\sigma^2}{h^2} + r\right) \\ + c & = & - \theta k \left( \frac{\sigma^2}{2 h^2} + \frac{1}{2h} \left(r - + \frac{\sigma^2}{2} \right) \right). +\end{pmatrix} +\] +A chaque pas $m$ de $M-1$ à $1$, il s'agit de résoudre un système d'inéquations linéaires + + +\subsubsection{algorithme de résolution} + +Il existe plusieurs algorithmes permettant de résoudre un tel système d'inéquations +linéaires. On propose ici d'utiliser la méthode dite par troncature. +\begin{algo} + Pour $m$ variant de $M-1$ à $1$, on résout + \begin{equation*} + T x = M u_{h,k}^{m+1}, + \end{equation*} + puis on pose + \begin{equation*} + u_{h,k}^m = \max(x, f_h). + \end{equation*} +\end{algo} +Pour assurer la convergence de l'algorithme ci-dessus, on veillera à ce que les paramètres +vérifient les conditions suivantes +\begin{equation*} + \abs{r -\frac{\sigma^2}{2}} \leq \frac{\sigma^2}{h} \quad \mbox{et} \quad + \frac{k}{2h} \abs{r -\frac{\sigma^2}{2}} < 1. +\end{equation*} +Ces conditions assurent que la matrice $T$ est coercive (c.à.d $\tr{x}Tx \leq c +\tr{x}x$ avec $c>0$). + +\subsection{Travail demandé} + +\begin{itemize} +\item Résoudre le système~\eqref{eq:ineq_diff} par la méthode détaillée + ci-dessus. +\item Dans la résolution du système linéaire, on s''efforcera de tirer profit + dans la structure tribande de la matrice en utilisant une décomposition de + type $Q = LU$, avec $L$ triangulaire inférieure et $U$ triangulaire. Ainsi le + système $Qx = b$ se résout en 2 étapes $Ly=b$ puis $Ux =y$. +\item On s'intéressa aux cas $\theta=0$, $\theta=1/2$ et $\theta=1$. Comparer la + convergence pour ces différentes valeurs. +\end{itemize} + +\section{Méthode de Monte Carlo pour les options américaines} + +On se propose de calculer le prix du put américain dans le modèle de Black +Scholes par une méthode de Monte Carlo. + +\subsubsection*{Travail demandé} +\begin{itemize} +\item Il s'agit d'implémenter l'algorithme de + Longstaff et Schwartz en dimension $1$. + + Pour la partie régression de l'algorithme, on pourra par exemple utiliser la + base canonique des polynômes de degré inférieur à $n$ $(x^d, 0 \le d \le n)$. On + pourra également ajouter à cette famille libre la fonction de payoff elle-même. + +\item Etudier la convergence en fonction du nombre de pas de temps, du nombre de + fonctions de base et de nombre de tirages Monte Carlo. +\end{itemize} + + +\input{test21.tex} + +\input test23.tex + +\begin{itemize} +\item \label{it:1} unused label +\end{itemize} + +\include{test22} + +\begin{itemize} +\item \label{it:2} unused label +\end{itemize} + + + +\end{document} + -- cgit v1.2.3