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diff --git a/macros/mtex/documentation/mdoc9.tex b/macros/mtex/documentation/mdoc9.tex deleted file mode 100644 index d0ed715c54..0000000000 --- a/macros/mtex/documentation/mdoc9.tex +++ /dev/null @@ -1,1135 +0,0 @@ -\def\adchap#1{{\advance\chap#1{}\the\chap}} -\heading{Der Balken- und Bogensatz} -Im Gegensatz zu den bisher behandelten Notenschriftzeichen sind die -Balken und Bogen satztechnisch dadurch ausgezeichnet, da\3 sie in der -L"ange und Gestalt variieren k"onnen, so da\3 es nicht ausreicht, nur -ein Element in einem Font f"ur den Satz zur Verf"ugung zu stellen. Die -Neigung der Balken bzw. die Kr"ummung der Bogen ist abh"angig von den zu -verbindenden bzw. zu "uberspannenden Noten. - -Au\3er den Faustregeln, -da\3 aus der Neigung des Balkens der Melodieverlauf -erkenntlich sein soll, um ein schnelleres Notenlesen zu erm"oglichen, und -da\3 der -Bogen von Notenkopf zu Notenkopf verlaufen sollte, jedoch andere -Zeichen nicht schneiden darf, gibt es keine -expliziten Regeln f"ur den Satz dieser Notenschriftelemente. - -\Beispiel -{\loose -\hsize10cm -\advance\hsize2\iindent -\parindent2\iindent -\beginsong -\vio\C -\group{\\{\a0}\\{\a2}\\{\a4}}{\\{0}\\{2}\\{4}}\ubeam13\go -\group{\\{\a4}\\{\a2}\\{\a0}}{\\{4}\\{2}\\{0}}\ubeam13\go -\group{\\{\a4}\\{\a6}}{\\{4}\\{6}}\lbeam12\uslur12\go -\group{\\{\a2}\\{\a4}}{\\{2}\\{4}}\ubeam12\lslur12\go -\group{\\{\h4}\\{\h2}}{\\{4}\\{2}}\uslur12\go\doublebarline -\endsong} -\vskip-1cm -\endBeispiel - -Alle anderen Satzregeln m"ussen daher aus der Notenliteratur abgeleitet -werden. Es gilt also, Verfahren f"ur den automatischen Notensatz zu -entwickeln, die den ansonsten nicht notwendig einheitlichen -Handsatz so nachahmen, da\3 die Ergebnisse in den -meisten F"allen mit dem Handgesetzten "ubereinstimmen. - -Die Verfahren f"ur den Balken- und Bogensatz gliedern sich in folgende -Abschnitte: -\item{1)} Berechnung der Steigung des Balkens bzw. der Sekantensteigung -des Bogens, - -\item{2)} Diskretisierung der Steigungen und Zusammenstellung der -Balken bzw. Bogen aus den Zei\-chen\-s"at\-zen, - -\item{3)} Endg"ultige Positionierung des Balkens bzw. Bogens. - -\Bemerkung Die hier vorgestellte Vorgehensweise ist durch die Tatsache -bedingt, da\3 ein Textsatzprogramm verwendet wird und nicht -koordinaten-orientiert gearbeitet wird. Das Zeichnen der Balken w"are -im anderen Fall direkt und ohne Diskretisierung - der berechneten Steigung -ausf"uhrbar. -\endBemerkung - -\subheading{Entwicklung des Verfahrens zur Verbalkung} -Gesucht ist ein Verfahren zur \defi{Verbalkung} von Noten, -d.h. ein Verfahren, -das jede beliebige Folge von Noten $(N_i)_{i=1,\ldots,n}$ durch einen -(oder mehrere) Balken verbindet, so da\3 der Aufpunkt $P$ und die -Neigung $S$ der Balken dem Handgesetzten nahe kommt. - -Ein solches Verfahren gliedert sich in drei Teilschritte: - -\item{1)} Bestimmung der Balkensteigung. -\item{2)} Anpassung der Notenh"alse. -\item{3)} Bestimmung des Aufpunktes aller Balkenst"ucke der Notengruppe. - -\Bemerkung -\item{1)} -Die Anzahl der Balken an einer Note stimmt mit der Anzahl der dem -Notenwert entsprechenden F"ahnchen (s. a. \the\chap.2.2) "uberein. -Alle Balkensteigungen innerhalb einer Notengruppe stimmen mit -der des "au\3ersten (d.h. des `Achtel'-Balkens) "uberein. -\item{}Es gen"ugt also, nur eine Steigung f"ur die ganze Notengruppe zu -berechnen. -\item{2)} Die Lage der Balken (oberhalb oder unterhalb der Notenk"opfe) -ist durch Regel N4b in \adchap{-1}.1 \XX festgelegt. -Die gemeinsame Richtung der -Notenh"alse kann zu jeder Folge von Noten bestimmt werden und sei -o.B.d.A. vorgegeben. -\item{3)} Die Balkensteigung ist nicht abh"angig von der absoluten -Tonh"ohe der Noten, sondern von der Position der Noten im Liniensystem. -Es gen"ugt also, - die interne Tonh"ohe der betroffenen Noten zu betrachten. -\endBemerkung - -\subsubheading{Bestimmung der Balkensteigung} -F"ur die folgenden "Uberlegungen beschreibe $d\in\{-1,+1\}$ wie in -\adchap{-1}.2.2 -die nach Regel N4c) bestimmte gemeinsame Richtung der Notenh"alse der -Balkengruppe. - -\subsubsubheading{Das Vorzeichen der Steigung} -Betrachtet man zun"achst zwei Noten $N_1$ und $N_2$ mit zugeh"origen -internen Tonh"ohen $p_1$ und $p_2$, -dann gilt unabh"angig von der gemeinsamen Richtung der Notenh"alse -$d$ f"ur das -Vorzeichen der Steigung $S$: -$$\align \text{F"ur }p_1<p_2& \text{ gilt }S>0\;,\\ - \text{f"ur }p_1=p_2& \text{ gilt }S=0 \text { und }\\ - \text{f"ur }p_1>p_2& \text{ gilt }S<0 \;.\endalign%\tag{S$_1$} - $$ -d.h. die Balkensteigung entspricht der Tendenz des Melodieverlaufs. - -\Beispiel -{\loose -\hsize10cm -\advance\hsize2\iindent -\parindent2\iindent -\beginsong -\vio\C -\group{\\{\a2}\\{\a3}}{\\{2}\\{3}}\ubeam12\go -\group{\\{\a3}\\{\a2}}{\\{3}\\{2}}\ubeam12\go -\group{\\{\a3}\\{\a8}}{\\{3}\\{8}}\lbeam12\go -\group{\\{\a6}\\{\a4}}{\\{6}\\{4}}\lbeam12\go -\group{\\{\a4}\\{\a4}}{\\{4}\\{4}}\lbeam12\go -\group{\\{\a3}\\{\a3}}{\\{3}\\{3}}\ubeam12\go -\=\endsong} -\vskip-1cm -\endBeispiel - -Das Vorzeichen ist f"ur zwei beliebige Noten eindeutig festgelegt. - -Dies gilt jedoch nicht mehr unbedingt f"ur Notengruppen mit mehr -Elementen. Man findet in der Literatur: - -{\loose -\hsize8cm -\advance\hsize2\iindent -\parindent2\iindent -\beginsong -\vio\C -\group{\\{\a0}\\{\a1}\\{\a2}\\{\a3}}{\\{0}\\{1}\\{2}\\{3}}\ubeam14\go -\group{\\{\a2}\\{\a1}\\{\a0}}{\\{2}\\{1}\\{0}}\ubeam13\go -\group{\\{\a4}\\{\a8}\\{\a4}}{\\{4}\\{8}\\{4}}\lbeam13\go\=% -\endsong} -\vskip-1cm - -Das Beispiel f"ur $p_1=p_n$ zeigt, da\3 hier die Steigung abh"angig von -der Tonh"ohe der ersten -und letzten Note bestimmt wurde. - -Untersucht man andere -Notenkombinationen, so zeigt sich auch f"ur F"alle mit $p_1\ne p_n$, -da\3 die Neigung nach der ersten -und letzten Note bestimmt wurde. - -\Beispiel -{\hsize 7cm -\loose -\advance\hsize2\iindent -\parindent2\iindent -\beginsong -\vio\C -\def\beamlist{\\{1-3,}\\{2-3,}} -\group{\\{\a6}\\{\s8}\\{\s2}}{\\{6}\\{8}\\{2}}\lbeam13\go -\def\beamlist{\\{1-\the\N,}} -\group{\\{\a4}\\{\a{12}}\\{\a{10}}\\{\a8}}{\\{4}\\{12}\\{10}\\{8}}% -\lbeam14\go\=% -\endsong} -\vskip-1cm -\endBeispiel - -Allgemein gilt f"ur $n>2$: -$$\align \text{F"ur }p_1<p_n&\text{ gilt }S\ge0\;,\\ - \text{f"ur }p_1=p_n&\text{ gilt }S=0 \text { und }\\ - \text{f"ur }p_1>p_n&\text{ gilt }S\le0 \;.\endalign%\tag{S$_2$} - $$ -Dabei gilt $S=0$, falls f"ur ein $i\in\{2,\ldots,n-1\}$ gilt: -$$\align &p_i\ge \max(p_1,p_n )\text{, falls }\quad d=1\;\\ -\text{oder }& p_i\le \min(p_1,p_n)\text{, falls }\quad -d=-1\;.\endalign$$ -Gibt es also innerhalb einer Notengruppe, deren Notenh"alse nach oben -gestielt sind, Noten, deren Tonh"ohe gr"o\3er oder gleich der Tonh"ohe -der h"ohergelegenen ``Randnote'' ist, so wird der Balken nicht -geneigt. Weisen alle Notenh"alse nach unten, -so wird die jeweils tiefergelegene ``Randnote'' betrachtet. -\Beispiel -\par\noindent\vbox{\hsize 6cm -\loose -\advance\hsize2\iindent -\parindent2\iindent -\beginsong -\vio\C -\group{\\{\a4}\\{\a3}\\{\a5}}{\\{4}\\{3}\\{5}}\lbeam13\go -\group{\\{\a0}\\{\a3}\\{\a3}}{\\{0}\\{3}\\{3}}\ubeam13\go\=% -\endsong} -\vskip-1cm -\endBeispiel - -Das Vorzeichen der Steigung wird also -nach der Konstellation der ersten und -letzten Note der Balkengruppe bestimmt. - -\subsubsubheading{Der Betrag der Steigung} -Sei im folgenden \folgi Nin eine Folge von Noten, f"ur die nach den -obigen Bedingungen -die Steigung $S$ nicht verschwindet. -Um gr"o\3ere Steigungen zu vermeiden, wird der -Betrag der Steigung nicht nach der -Position der Notenk"opfe bestimmt wird, sondern bez"uglich der Endpunkte -der Notenh"alse. - -Sei $E_i=(h_i,e_i)$ der Endpunkt des Notenhalses von $N_i$, wobei $h_i$ -den Abszissenwert des Notenhalses und $e_i:=\bar p_i+ d\cdot s^d(p_i)$ -den -vertikalen Abstand von der Grundlinie angibt ($\bar p_i = p_i\cdot 0.5 -\verbatimon|\nhh|$). - -Aus diesen Werten kann allgemein die Steigung $S^*$ einer Geraden durch -die Punkte $E_1$ und $E_n$ berechnet werden durch Bildung des -Differenzenquotienten -$$S^*= -\Frac{e_n-e_1}{h_n-h_1}\;.$$ -Diese errechnete Steigung kann jedoch erst nach einigen weiteren -Korrekturen der Notenh"alse als endg"ulti\-ge Steigung f"ur den Balken -"ubernommen werden. -\subsubsubheading{Die Korrektur der Notenhalsl"angen} -Es sind zun"achst zwei verschiedene Korrekturen der Notenhalsl"angen -m"oglich. -\item{1)} -Wegen -$$\verbatimoff |s^d(p_1)-s^d(p_n)|\le|\bar p_1-\bar p_n|$$ -gilt immer: -$$ -\align &e_n-e_1\ge0 \text{ f"ur }p_1<p_n\;\\ -\text{und }& e_n-e_1\le0\text{ f"ur }p_1>p_n\;.\endalign$$ -\item{} -In einigen F"allen wird -jedoch die strikte Positivit"at bzw. Negativit"at -von $S^*$ nicht mehr gew"ahrleis\-tet. - -\Beispiel -{\hsize 4cm -\loose -\advance\hsize2\iindent -\parindent2\iindent -\beginsong -\vio\C -\ \v{-4}\v{-3}\v{11}\v{13}\hfill\null -\endsong} -\vskip-1cm -\endBeispiel - -\item{} -In diesen F"allen m"ussen also die Notenhalsl"angen so korrigiert werden, -da\3 die Bedingung f"ur das Vorzeichen der Steigung - erf"ullt ist, und eine betragsm"a\3ig -kleine Steigung -die Tendenz der Notengruppe ausdr"uckt. - -\item{2)}Eine -weitere Korrektur ergibt sich aus der Tatsache, -da\3 Balken mit einer Steigung von mehr als - $25^\circ $--$ 30^\circ$ geneigt sind, nicht -verwendet werden, da sie das Gesamtbild optisch unruhig erscheinen -lassen. -Da die Steigung von der Differenz der Abszissenwerte der Notenh"alse -abh"angig ist, -tritt dies h"aufig auf bei Notenpaaren -mit stark unterschiedlichen Tonh"ohen, z.B. - -{\hsize 4cm -\advance\hsize2\iindent -\parindent2\iindent -\universal -\beginsong -\vio\C -\hskip20pt\v{-3}\v{3} \hfill -\endsong} -\vskip-1cm\ -\item{} -Die Korrektur sollte also dahin zielen, den Betrag der Balkensteigung so -zu verkleinern, da\3 die h"ochstzul"assige Steigung angenommen wird. -Dies kann auf zwei Arten geschehen: -\itemitem{a)} Vergr"o\3ern des horizontalen Abstands, was aus den in -Kapitel \adchap{-2}.1 -\XX angef"uhrten Gr"unden jedoch unzul"assig ist, und -\itemitem{b)} Verkleinern des vertikalen Abstandes durch Ver"andern der -Notenhalsl"angen. - -\item{}Auch in diesem Fall ist also eine Korrektur der Notenhalsl"angen -erforderlich. - -Aus den Beipielen in der Notenliteratur ergibt sich, da\3 -die Korrektur der Notenhalsl"angen stets durch Verl"angern der -entsprechenden Notenh"alse erfolgt, nie durch Verk"urzen. - -Die Verl"angerung der Notenh"alse ist nicht unabh"angig von der -gemeinsamen Notenhalsrichtung $d$. Es gilt -f"ur die zu den Noten $N_1$ und $N_n$ zugeh"origen Halsl"angen $s_1$ und -$s_n$ f"ur die zuerst vorgestellte Korrekturm"oglichkeit: -\verbatimon -$$\align \text{Ist }d\cdot(p_1-p_n)>0&\text{, so gilt } -s_1 =s^d(p_1)+0.5\hbox{|\nhh| und } s_n=s^d(p_n)\,,\\ - \text{und ist }d\cdot(p_1-p_n)<0&\text{, so gilt } -s_n =s^d(p_n)+0.5\hbox{|\nhh| und } s_1=s^d(p_1)\;.\endalign$$ -Die zweite Korrektur wird wie folgt durchgef"uhrt: - -Sei $h:=h_n-h_1$ die Differenz der Abzissen der Notenh"alse -und $\epsilon:=\sin\alpha$, wobei $\alpha$ den maximal zul"assigen -Neigungswinkel angibt. Dann gilt -$$\align \text{Ist }d\cdot(p_1-p_n)>0&\text{, so gilt } -s_1 =s^d(p_1)+\verbatimoff (|e_n-e_1| -\epsilon \cdot h) -\hbox{ und } s_n=s^d(p_n)\,,\\ - \text{und ist }d\cdot(p_1-p_n)<0&\text{, so gilt } -s_n =s^d(p_n)+\verbatimoff (|e_n-e_1| -\epsilon \cdot h) -\hbox{ und } s_1=s^d(p_1)\;.\endalign$$ - -Die der Notengruppe zugeh"orige Balkensteigung $S$ lautet nun: -$$S:=\Frac{(\bar p_n - \bar p_1) + d(s_n-s_1)}{h_n-h_1} $$ - -\Beispiel -\par -\input mdocpic2 -\endBeispiel - -\subsubsubheading{Die Diskretisierung der Balkensteigung} -Die Balkensteigung $S$ hat einen reellen Wertebereich, wenn man die oben -angef"uhrte Definition anwendet -($S\in\lbrack-\tan\alpha,\tan\alpha\rbrack\subset\rz$). - -Wie schon in -\adchap{-4}.1.4 \XX angedeutet, bietet \TeX\ au\3er Rules keine -M"oglichkeit, Linien zu setzen. Man w"urde also einen Balken beliebiger -Steigung aus gen"ugend kleinen ausgef"ullten Rechtecken zusammensetzen -m"ussen und dabei ein Optimierungsverfahren anwenden. Diese -Vorgehensweise w"are sowohl im Satz als auch in der Ausgabe sehr -zeitaufwendig und w"urde dennoch bei von Null verschiedenen Steigungen -eine sichtbare Treppenstruktur ergeben. - -Es liegt daher nahe, die Balkensteigung zu diskretisieren und Balken -dieser Steigungen in einem eigenen Zeichensatz zusammenzufassen. - -\Bemerkung -\item{1)}Das folgende Verfahren ist nicht spezifisch f"ur das -Textsatzsystem \TeX, sondern k"onnte auch f"ur andere Satzsysteme -verwendet werden. -\item{2)} -Diese Vorgehensweise der Diskretisierung -findet man auch beim Typendruckverfahren, -das im wesentlichen zwei verschiedene Neigungen verwendet: -steile und flache (s. \lit{\genzmeier, S.119}). - -\endBemerkung -Es sollen hier jedoch feinere Unterschiede gemacht werden: -\item{1)}Die Balkensteigung soll die errechnete m"oglichst realistisch -wiedergeben. -\item{2)}Die gr"o\3te Steigung entspricht $\tan\alpha$, wobei -$\alpha$ den maximal zul"assigen Neigungswinkel angibt. (Es gilt z.B. -$25^\circ\approx\arctan{\hbox{|\nhh|}\over\hbox{2|\nhw|}}=\arctan -0.\overline{45}$, falls |\nhw|=1.1|\nhh|.) - -Gesucht ist eine Folge $0=m_0<m_1<\ldots<m_k\cong 0.45$, die die in -der Notenliteratur erforderlichen Steigungen wiedergibt. -(Als negative Steigungen ergeben sich dann $-m_i\;,\;i=0,\ldots,k$.) - -Als Schranke $\eta>0$ f"ur den absoluten Fehler wurde das Zweifache der -Balkenst"arke gew"ahlt, so da\3 sich -bei Rundung auf den n"achsten diskreten -Steigungswert ein maximaler Fehler von $\eta/2$, d.h. der St"arke eines -Balkens ($\approx$0.6|\nhh|), ergibt. -Sei $\epsilon:=\max_{i=0,\ldots,k-1}\{m_{i+1}-m_i\}$, so gilt f"ur den -absoluten Fehler: -$$\verbatimoff |m_{i+1}-m_i|\cdot|h|<\eta\;.$$ -Die Wahl von $\epsilon$ ist also abh"angig von $|h|$. -W"ahlt man acht verschiedene Steigungen, d.h. $k=8$, und als obere -Schranke $m_8=0.45$, so erh"alt man f"ur -$\epsilon=\Frac{0.45}8\cong0.056$ die gew"unschte Genauigkeit f"ur -\verbatimoff -$|h|=\verbatimon{\hbox{1.2|\nhh|}\over\dsize0.056}\cong21\hbox{|\nhh|} -\cong20\hbox{|\nhw|}$.\verbatimon - -Diese Genauigkeit wird also bei einer Verbalkung von zehn Achtelnoten -bei universellem Zeilenausschlu\3 (s. 5.1.1\XX) eingehalten. Dies ist -ausreichend, da selten l"angere Balken ben"otigt werden. Bei einer -Verbalkung von sechs Achtelnoten erreicht man eine Genauigkeit von -$\eta/2$. -Aus diesen Gr"unden wurde f"ur den Balkenzeichensatz der -`Steigungssatz' $m_i=0.056\cdot i\,,$ $i=1,\ldots,8$ gew"ahlt. - -Die Anpassung der oben berechneten Steigung $S$ an die im Zeichensatz -vorhandenen erfolgt f"ur -\verbatimoff$|S|\ge m_1$ durch Runden auf den n"achsten diskreten -Steigungswert $m_i$ mit $m_i\le |S|$ und - f"ur $0<|S|<m_1$ durch -Aufrunden auf $m_1$, damit die obigen Bedingungen f"ur das Vorzeichen der -Steigung auch bei diskretisierter Steigung erf"ullt bleiben. - -\verbatimon -Stellt man den Zeichensatz so zusammen, da\3 zu jeder Steigung -Balkenst"ucke der Zeichenbreite $w_i:=\frac12\cdot 2^i\pt=2^{i-1}\pt$, -$i\in\{0,\ldots,7\}$ existieren, so k"onnen Balken beliebiger L"ange auf -$0.5\pt$ genau zusammengef"ugt werden, wobei die auf den Drucker -zu "ubertragende Anzahl der Zeichen minimiert ist -Der dazu erstellte Zeichensatz ist im Anhang D zu finden. - -\subsubheading{Die Anpassung der Notenhalsl"angen} -Da der Balkenverlauf nur nach der ersten und letzten Note bestimmt -wurde, aber die dazwischen liegenden Noten $N_2,\ldots,N_{n-1}$ beliebig -sind, ist es notwendig, zun"achst die "ubrigen Notenhalsl"angen -anzugleichen, abh"angig von den internen Tonh"ohen der inneren Noten -eine dritte Korrektur aller Notenh"alse durchzuf"uhren und abh"angig -von der Anzahl der zu setzenden Balkenreihen eventuell die Notenh"alse -durch eine vierte Korrektur erneut zu verl"angern. - -\subsubsubheading{Das Angleichen der Notenh"alse} -Ausgehend vom -(eventuell korrigierten) Notenhalsendpunkt $E_1$ ist die L"ange des -Notenhalses $s_i$ von $N_i$ der vertikale Abstand des Notenkopfes vom -Balken. Es gilt: -$$s_i:= s_1+d(\bar p_1 -\bar p_i + S\cdot (h_i-h_1))\;,$$ -wobei $S$ die angepa\3te diskretisierte Steigung ist und $d$ wiederum -die gemeinsame Notenhalsrichtung beschreibt. - -\subsubsubheading{Die erste Verl"angerung der Notenh"alse} -Sei $\bar s$ die minimal zul"assige Halsl"ange innerhalb einer -Notengruppe. Dann sind zun"achst alle Halsl"angen der Gruppe um -$$s^*:=\max_{1\le i\le n}(0,\bar s-s_i)$$ -zu verl"angern. Die Verl"angerung $s^*$ ist also nur positiv, falls f"ur -mindestens ein $i$ gilt $s_i<\bar s$, andernfalls ist keine Korrektur -notwendig. - -Die minimal zul"assige Halsl"ange ist wie folgt bestimmt: -$$\bar s =\cases 2\hbox{|\nhh|}\,,&\text{falls -}s^d(p_1)\le3\hbox{|\nhh|}\text{ oder } -s^d(p_n)\le3\hbox{|\nhh|}\;,\\3\hbox{|\nhh|}\,,&\text{sonst.}\endcases$$ -Es gilt also $\bar s=2\hbox{|\nhh|}$ f"ur $p\ge6$, falls $d=+1$ und f"ur -$p\le1$, falls $d=-1$. - -Diese (willk"urlich festgelegten) Werte f"ur $\bar s$ haben sich in der -Praxis bew"ahrt. - -\Beispiel -\par -\input mdocpic3 -\endBeispiel - -\subsubsubheading{Die zweite Verl"angerung der Notenh"alse} -Abh"angig von der Anzahl der Balkenreihen $r$ m"ussen die -Notenhalsl"angen eventuell nochmals korrigiert werden um -$$s^{**}:=\cases0\,,&\text{f"ur -}r\le2\,,\\(r-2)\hbox{|\nhh|}\,,&\text{f"ur }r>2\,.\endcases$$ -Auch diese Werte sind heuristisch bestimmt. -\par -\subsubheading{% -Bestimmung des Aufpunktes aller Balken der Notengruppe} -Der Aufpunkt $P_{i,j}=(h_i,a_{i,j})\,,1\le i\le n$ und $1\le j\le r$, -der einzelnen Balken der Notengruppe -wird nun wie folgt bestimmt: -$$a_{i,j} = \bar p_i + d\cdot s_i + d\cdot r\cdot\hbox{|\nhh|}\;.$$ -Dabei wird der Balken bis auf den Spezialfall eines ``Halbbalkens'' -immer rechts vom Notenhals positioniert. Gilt ein Balken nur f"ur -eine Note, so wird er je nach Position der Note innerhalb der -Notengruppe links oder rechts vom Notenhals plaziert, z.B immer links -f"ur $N_n$ und immer rechts f"ur $N_1$. Innerhalb der Gruppe richtet -sich die Position nach dem metrischen Gef"uge (s.\lit\ziegen). Ein -solcher Balken hat immer als L"ange die H"ohe -eines Notenkopfes. - -\Beispiel -{\hsize 10cm -\advance\hsize2\iindent -\parindent2\iindent -\loose -\beginsong -\vio\C -\def\beamlist{\\{1-2,}\\{-2,}} -\group{\\{\a6\.1}\\{\s6}}{\\{6}\\{6}}\lbeam12\go -\def\beamlist{\\{1-2,}\\{1-1,}} -\group{\\{\s6}\\{\a7\.1}}{\\{6}\\{7}}\lbeam12\go -\def\beamlist{\\{1-4,}\\{-2,-4,}} -\group{\\{\a7\.1}\\{\s8}\\{\a6\.1}% -\\{\s7}}{\\{7}\\{8}\\{6}\\{7}}\lbeam14\go -\def\beamlist{\\{1-4,}\\{1-1,3-3,}} -\group{\\{\s7}\\{\a8\.1}\\{\s6}\\{\a7\.1}} -{\\{7}\\{8}\\{6}\\{7}}\lbeam14\go -\hfill\=% -\endsong} -\vskip-1cm -\endBeispiel - -\subsubheading{Abschlie\3ende Bemerkungen zur Verbalkung} -Das obige -Verfahren zur Verbalkung l"a\3t sich auch f"ur Akkorde durchf"uhren, -wenn f"ur die interne Tonh"ohe die am weitesten von der jeweiligen -Bezugsnote entfernte Note zur Berechnung verwendet wird. - -\Beispiel -{\hsize 4cm -\advance\hsize2\iindent -\parindent2\iindent -\loose -\beginsong -\vio\C% -\def\beamlist{\\{1-3,}\\{1-3,}}% -\group{\\{\b7\rchord\a7\a{-1}\endchord}\\{\rchord\a{14}\a8\endchord} -\\{\rchord\a{11}\a5\endchord}}{\\{-1}\\{8}\\{5}}\lbeam13\go\hfill -\endsong} -\vskip-1cm -\endBeispiel - -\subheading{Entwicklung eines Verfahrens zur Phrasierung} - -Gesucht ist ein Verfahren zur \defi{Phrasierung} -von Noten, d.h. ein Verfahren, -das jede beliebige Folge von Noten \folgi Nin mit zugeh"origen -Tonh"ohen \folgi pin, Notenhalsl"angen \folgi sin und -Notenhalsrichtungen \folgi din mit einem Bogen "uberspannt. - -Wie bei der Verbalkung mu\3 zun"achst entschieden werden, ob der Bogen -oberhalb oder unterhalb der Noten verl"auft. Verl"auft der Bogen -oberhalb, so ist eine konkave Form zu w"ahlen, andernfalls -eine konvexe Form. - -Als Grundregel gilt: - -\item{P1)}Bei einstimmiger Notation wird der Bogen von Notenkopf zu -Notenkopf gef"uhrt, so da\3 die betroffenen Noten deutlich erkennbar -sind, d.h. f"ur $d_1=d_n$ wird der Bogen -unterhalb der Notenk"opfe gef"uhrt, -falls $d_1=+1$, und oberhalb, falls $d_1=-1$. -\item{} -F"ur $d_1\ne d_n$ gibt es keine einheitliche Regelung, jedoch findet man -meistens (vor allem in der Vokalmusik) die Regelung, da\3 der Bogen -oberhalb -der Notenk"opfe gef"uhrt wird, um nicht in Konflikt mit unterlegtem Text -zu geraten. -\item{P2)} Bei zwei- (oder mehr-)stimmiger Notation gilt jedoch -allgemeing"ultig die Regelung, da\3 f"ur die Phrasierung der Oberstimme -konkave Bogen und f"ur die Phrasierung der Unterstimme konvexe Bogen -vorgeschrieben sind. - -\Beispiel -{\universal -\hsize 10 cm -\advance\hsize2\iindent -\parindent2\iindent -\beginsong -\vio\C -\group{\\{\h5}\\{\h5}}{\\{5}\\{5}}\uslur12\go -\group{\\{\h3}\\{\h3}}{\\{3}\\{3}}\lslur12\go -\group{\\{\h4}\\{\h3}}{\\{4}\\{3}}\uslur12\go -\group{\\{\h3}\\{\h4}}{\\{3}\\{4}}\uslur12\go -\two{% -\group{\\{\h3}\\{\h7}}{\\{3}\\{7}}\uslur12\go} -{\group{\\{\h1}\\{\h4}}{\\{1}\\{4}}\lslur12\go}\=\endsong -}\vskip-1cm -\endBeispiel - -Der Bogen wird im Gegensatz zum Balken -nicht dazu verwendet, den Melodieverlauf auszudr"ucken, -sondern wird abh"angig vom zur Verf"ugung stehenden Freiraum -positioniert, d.h. er darf innere Noten der Notengruppe nicht -durchkreuzen. - -Beim Handnotensatz unterscheidet der Notensetzer Legato- und Haltebogen -von Phrasierungsbogen. - -Legato- und Haltebogen sind k"urzer und meist schon als Stempel -vorhanden, w"ahrend Phrasierungsbogen freier gestochen -werden und l"anger sind. - -Legatobogen haben also f"ur eine bestimmte L"ange eine feste Kr"ummung, -w"ahrend Phrasierungsbogen in der Form variieren k"onnen. - -Da \TeX\ nicht die graphischen M"oglichkeiten besitzt, Bogen zu -zeichnen, mu\3te eine Algorithmus gefunden werden, der Bogen mit einer -festen Kr"ummung bei gleicher Breite setzt. - -Berechnet man also die Sekantensteigungen des Bogens, so ist der -zugeh"orige zu w"ahlende Bogen eindeutig bestimmt und in einem -Zeichensatz speicherbar. - -Daher ist es f"ur das Setzen eines Bogens -ausreichend, nur seine Sekantensteigung zu berechnen und -diese zu diskretisieren. - -\subsubheading{Bestimmung des Anfangs- und Endpunktes des Bogens} - -O.B.d.A. seien im folgenden Noten durch einen konkaven Bogen zu -"uberspannen. F"ur den konvexen Bogen lassen sich die "Uberlegungen -analog durchf"uhren. - -Sei \folgi Nin eine Notengruppe. Seien -\folgi pin die zugeh"origen Tonh"ohen und -$\bar p_i:=p_i\cdot0.5\hbox{|\nhh|} $ wie oben. -Seien \folgi din die Richtungen der Notenh"alse, - \folgi sin die zugeh"origen Notenhalsl"angen und - \folgi hin die Abszissenwerte der Notenh"alse. -\Bemerkung O.B.d.A. sei $h_1:=0$. Gilt -$d_i=0$ f"ur ein $i$, so besitzt -die Note keinen Notenhals. In diesem Fall sei $h_i$ -der Abszissenwert des Notenkopfmittelpunktes. -\endBemerkung -Dann gilt f"ur den Anfangspunkt $A_i$ des Bogens f"ur Noten, die nicht -mit aufw"arts gestielten Notenh"alsen verbalkt sind: -$$\matrix\format\r&\l&\l\\ -\text{F"ur } &d_i=+1& \text{ gilt } A_i=(h_i+0.5\hbox{|\nhh|}, -\bar p_i+\hbox{|\nhh|})\,,\\ - \text{f"ur } &d_i=0&\text{ gilt } A_i=(h_i, -\bar p_i+\hbox{|\nhh|})\,,\\ - \text{f"ur } &d_i=-1&\text{ gilt } A_i=(h_i+0.5\hbox{|\nhh|}, -\bar p_i+\hbox{|\nhh|})\,.\endmatrix$$ -Ist $N_i$ Element einer oberhalb der Notenk"opfe verbalkten Notengruppe, -so ist eine weitere Fallunterscheidung notwendig. Falls $N_i$ nicht das -\disp{letzte} Element der verbalkten Notengruppe ist, gilt: -$A_i =(h_i,\bar p_i+s_i+0.5\hbox{|\nhh|})\;.$ -Dies gilt auch f"ur die letzte Note einer ``Balkengruppe'', falls die -Note des Bogenendes auf die gleiche Weise verbalkt wurde, andernfalls -gilt $A_i= (h_i+0.5\hbox{|\nhh|}, \bar p_i+\hbox{|\nhh|})$. - -F"ur den Endpunkt $E_i$ des Bogens f"ur Noten, die nicht -mit aufw"arts gestielten Notenh"alsen verbalkt sind, gilt: -$$\matrix\format\r&\l&\l\\ -\text{F"ur }& d_i=+1&\text{ gilt } E_i=(h_i-0.5\hbox{|\nhh|}, -\bar p_i+\hbox{|\nhh|})\,,\\ - \text{f"ur }& d_i=0&\text{ gilt } E_i=(h_i, -\bar p_i+\hbox{|\nhh|})\,,\\ - \text{f"ur }&d_i=-1&\text{ gilt } E_i=(h_i+0.5\hbox{|\nhh|}, -\bar p_i+\hbox{|\nhh|})\,.\endmatrix$$ -Ist $N_i$ Element einer oberhalb der Notenk"opfe verbalkten Notengruppe, -so ist wiederum -eine Fallunterscheidung notwendig. Falls $N_i$ nicht das -\disp{erste} Element der verbalkten Notengruppe ist, so ist -$E_i =(h_i,\bar p_i+s_i+0.5\hbox{|\nhh|})\;.$ -Dies gilt auch f"ur die erste Note einer ``Balkengruppe'', falls die -Note des Bogenendes auf die gleiche Weise verbalkt wurde, andernfalls -ist $E_i= (h_i,\bar p_i+\hbox{|\nhh|})$. -\verbatimoff -\par -\Beispiel -\par -{\hsize 16 cm\universal -\parindent = 0pt -\beginsong -\vio\C% -\group{\\{\h3}\\{\h3}}{\\{3}\\{3}}\uslur12\go -\group{\\{\h3}\\{\g5}}{\\{3}\\{5}}\uslur12\go -\group{\\{\h3}\\{\h4}}{\\{3}\\{4}}\uslur12\go\doublebarline -\group{\\{\g4}\\{\h1}}{\\{4}\\{1}}\uslur12\go -\group{\\{\g5}\\{\g5}}{\\{5}\\{5}}\uslur12\go -\group{\\{\g5}\\{\h5}}{\\{5}\\{5}}\uslur12\go\doublebarline -\group{\\{\h4}\\{\h3}}{\\{4}\\{3}}\uslur12\go -\group{\\{\h5}\\{\g5}}{\\{5}\\{5}}\uslur12\go -\group{\\{\h4}\\{\h8}}{\\{4}\\{8}}\uslur12\go\hfill\doublebarline -\group{\\{\a3}\\{\a3}\\{\h6}}{\\{3}\\{3}\\{6}}\ubeam12\uslur13\go -\group{\\{\a3}\\{\a3}\\{\h6}}{\\{3}\\{3}\\{6}}\ubeam12\uslur23\go -\doublebarline -\group{\\{\a3}\\{\a3}\\{\a3}\\{\a3}}{\\{3}\\{3}\\{3}\\{3}% -}\ubeam12\ubeam34\uslur13\go\|% -\group{\\{\a3}\\{\a3}\\{\a3}\\{\a3}}{\\{3}\\{3}\\{3}\\{3}% -}\ubeam12\ubeam34\uslur23\go -\=\endsong} -\vskip-1cm -\endBeispiel - -Wie bei der Verbalkung mu\3 in Extremf"allen die Sekantensteigung - korrigiert werden. Dies geschieht wiederum nur durch Verschieben der -Anfangs- bzw. Endpunkte in vertikaler Richtung, d.h. durch Ver"andern der -Ordinaten. -\verbatimon - -Im folgenden seien \folgi ain und \folgi ein die Ordinatenwerte der -Punkte \folgi Ain{}bzw. \folgi Ein. -Eine Korrektur wird (auch in der Notenliteratur) nur so durchgef"uhrt, -da\3 die Sekantensteigung betragsm"a\3ig verkleinert wird, jedoch kein -Vorzeichenwechsel auftritt. - -Da die -Anfangs- und Endpunkte f"ur einen konkaven Bogen so gew"ahlt sind, -da\3 der vertikale Abstand von der Grundlinie der minimal m"ogliche ist, -kann die Korrektur nur durch Erh"ohen des Abstandes durchgef"uhrt werden. - -\item{1)}Zun"achst ist eine Korrektur notwendig, -falls der Bogen, der die Noten zwischen $N_1$ und $N_n$ "uberspannen -soll, die inneren Noten schneidet. -Die Bogen der Notenliteratur "ahneln eher Parabelausschnitten als -Kreisbogenausschnitten, wie man zun"achst vermuten w"urde. Um den -Bogenverlauf m"oglichst genau nachzuahmen, wurde ein Parabelausschnitt -gew"ahlt, der durch die beiden Endpunkte des Bogens und einen dritten -Punkt eindeutig bestimmt ist. Dieser dritte Punkt ist durch einen -Vektor, der senkrecht auf der Sekante steht, mit dem Sekantenmittelpunkt -als Aufpunkt und einer L"ange, abh"angig von der Sekantenl"ange, gegeben. -Als L"ange hat sich -hierbei ein Sechstel der Sekantenl"ange bew"ahrt, soweit -diese nicht den Betrag von |2\nhh| "uberschreitet. -\par -\item{} -Da nur eine grobe Korrektur notwendig ist, gen"ugt es, den Bogen -geeignet linear zu approximieren und zu "uberpr"ufen, ob die -inneren Noten unterhalb einer solchen Geraden -verlaufen. -\item{} -Die Gerade, die dies f"ur alle F"alle gew"ahrleistet, ist nat"urlich -die Gerade durch die -Sekante des Bogens. Dies f"uhrt jedoch f"ur die Noten, -die sich unter der Sekantenmitte befinden, zu unbefriedigenden -Ergebnissen. - Da -sich jedoch in unmittelbarer N"ahe der Bogenendpunkte keine -inneren Noten befinden, kann eine Gerade gew"ahlt werden, die -zur Sekante parallel verl"auft. -Der Abstand zur Sekante ist - abh"angig von der ``Auslenkung'' des -Bogens und der Sekantensteigung. -\item{} -Sei $\epsilon$ der Abstand der beiden -Geraden und -$S$ die errechnete Sekantensteigung bzgl. $A_1$ und $E_n$. -Dann ist -$s^*=\max_{i=2,\ldots,n-1}\{0\,,\,(e_i-a_1+S\cdot h_i)-\epsilon\}$ -der Maximalwert, um den die Approximationsgerade "uberschritten wurde. -Die Korrektur der Bogensteigung wird dann wie folgt durchgef"uhrt: -gilt $a_1<e_n$, dann wird $a_1$ um $s^*$ -vergr"o\3ert. -Falls $a_1+s^*>e_n$, wird so korrigiert, da\3 $S$ verschwindet, d.h. -$e_n$ mu\3 um den Betrag $e_n-(a_1+s^*)$ vergr"o\3ert werden. F"ur -$a_1>e_n$ wird zun"achst $e_n$ vergr"o\3ert. Falls dabei -$S$ Null wird, ist zus"atzlich $a_1$ zu korrigieren. -\medskip -\input mdocpic4 -\medskip -\centerline{{\eightrm Skizze zur Approximation des Bogens}} -\item{2)}Eine weitere Korrektur mu\3 (nach der Diskretisierung -(s. \the\chap.2.2\XX)) -durchgef"uhrt werden, falls die Steigung die f"ur die -Zeichenbreite des Bogens zul"assige maximale Steigung "uberschreitet. -\item{} -Die Sekantensteigungen $S$ liegen im Intervall $(-1,1)\in\rz$, jedoch -kommt es auch nur selten vor, da\3 \verbatimoff$S\cdot |h|>\verbatimon -4\hbox{|\nhh|}$, d.h. die H"ohe des Zeilensystems "uberschreitet. Die -maximal zul"assige Steigung ist also abh"angig von $h$ und kann -beschrieben werden durch: -\verbatimon -$$\bar s(h)=\min(1,{4\hbox{|\nhh|}\over h})\;.$$ -Dann wird die Korrektur wiederum so durchgef"uhrt, da\3 -$a_1$ vergr"o\3ert wird, falls $a_1<e_n$, -und $e_n$ vergr"o\3ert wird, falls $a_1>e_n$. - Es gilt: -$$a_{1,{\rm neu}}:=e_n-\bar s(h)\cdot h \quad\text{ bzw. }\quad -e_{1,{\rm neu}}:=a_n-\bar s(h)\cdot h \;.$$ - -\subsubheading{Diskretisierung der Sekantensteigung} -Aus den gleichen Gr"unden wie bei der Verbalkung ist eine -Diskretisierung der Sekantensteigung notwendig. Da die St"arke des -Bogens jeweils zum Bogenende abnimmt, w"are es sehr zeitaufwendig, den -Bogen aus Einzelst"ucken zusammenzusetzen. -Zu jeder Breite und jeder Steigung m"u\3te also ein vollst"andiger Bogen -bereitgehalten werden. - -Ber"ucksichtigt man folgende Gesichtspunkte, kann jedoch eine -repr"asentative Auswahl getroffen werden. -\item{1)}Da der Bogen die -Notengruppe nur "uberspannen und nicht exakt zwischen zwei Notenh"alsen -eingepa\3t werden mu\3, gen"ugt es, Bogen der Zeichenbreite $w=k\cdot -\hbox{|\nhw|} \text { mit } k\in\nz^+$ bereitzuhalten. -\item{2)}Der vertikale Abstand der Bogenendpunkte betr"agt (meistens) -ein -$m$-faches von 0.5|\nhh|, wobei als obere Grenze 4|\nhh| -angesehen werden kann, d.h. $m\le8$. -% -\item{3)}Eine weitere Schranke ist $m\le2k$, da die Sekantensteigung -kleiner als 1 sein sollte. -\item{4)}Da jedoch nicht Bogen beliebiger -L"ange bereitgehalten werden k"onnen, ist es entgegen obiger -"Uberlegung doch notwendig, Bogen gr"o\3erer Breite aus Einzelst"ucken -zusammenzusetzen. Dabei wird das Mittelst"uck durch eine Rule beliebiger -L"ange ersetzt. - -Es ergeben sich aus den obigen Gesichtspunkten f"unf verschiedene -Zeichens"atze: -\item{1)}konkave Bogen positiver Sekantensteigungen ($\frac{ht}w$) mit -Breiten $w = i\cdot\hbox{|\nhw|}\,,i\in\{1,\ldots,17\}$ und H"ohen -$ht = j\cdot0.5\hbox{|\nhh|}\,,j\in\{1,\ldots,\min({2i,8})\}$. - -\item{2)}konkave Bogen negativer Sekantensteigungen ($\frac{dp}w$) mit -Breiten $w = i\cdot\hbox{|\nhw|}\,,i\in\{1,\ldots,17\}$ und Tiefen -$dp =-j\cdot0.5\hbox{|\nhh|}\,,j\in\{1,\ldots,\min({2i,8})\}$. - -\item{3)}konvexe Bogen positiver Sekantensteigungen ($\frac{ht}w$) mit -Breiten $w$ und H"ohen $ht$ wie oben. -\item{4)}konvexe Bogen negativer Sekantensteigungen ($\frac{dp}w$) mit -Breiten $w$ und Tiefen $dp$ wie oben. -\item{5)}konkave und konvexe Haltebogen ($j=0$) verschiedener Breite -$w$ wie oben -und konkave und konvexe Bogenst"ucke -positiver und negativer Sekantensteigung konstanter Breite (% -$w=9\hbox{|\nhw|}$). -\Bemerkung -\item{1)}Die Maximalbreite $w=17\hbox{|\nhw|}$ hat sich so ergeben, da\3 -die Zeichens"atze mit jeweils 124 Elementen belegt werden konnten. -Vollst"andige Bogen einer gr"o\3eren Breite erschienen nicht sinnvoll, -da sie selten vorkommen und viel Speicherplatz ben"otigen. -\item{2)} -Zur Wahl der Bogenst"ucke: -\item{}Der Bogen wird aus drei Teilen zusammengesetzt und zwar werden je -ein Bogenst"uck positiver Sekantensteigung und ein Bogenst"uck -negativer Sekantensteigung, die jeweils konvex bzw. konkav sind, durch -eine Rule beliebiger L"ange verbunden. Dabei k"onnen sich vier -verschiedene Situationen ergeben: - -\Beispiel\vskip-1cm -\begingroup -\def\vt#1{{\offinterlineskip\vtop{\null\hbox{\slurfont\char\hex#1}\vss}% -}} -\def\vb#1{{\offinterlineskip\vbox{\vss\hbox{\slurfont\char\hex#1}\null}% -}} -\medskip -\def\rulet{\vrule height 0pt depth 1pt width36pt} -\def\ruleb{\vrule height 1pt depth 0pt width36pt} -\baselineskip2cm -\halign{\hskip\iindent#\hfil&\quad$\vcenter{#}$&\hskip\iindent#\hfil -&\quad$\vcenter{#}$\cr -a)&\hbox{\vt{28} \rulet\ \vt{30}}&b)&\hbox{\vt{20} \rulet\ \vt{38}}\cr -c)&\hbox{\vb{40} \ruleb\ \vb{58}}&d)&\hbox{\vb{48} \ruleb\ \vb{50}}\cr} -\endgroup -\medskip -\endBeispiel -\item{} -Die folgenden "Uberlegungen gelten f"ur die in Beispiel a) -aufgef"uhrte Situation, k"onnen jedoch auch auf die anderen "ubertragen -werden. -\item{} -Sei $S=\Frac{e_n-a_1}h={\dsize j\cdot0.5\hbox{|\nhh|}\over \dsize -h}$, wobei -$j\in\{0,\ldots,8\}$. -O.B.d.A. gilt $e_n>a_1$. Sei $S_1>0$ die Sekantensteigung des ersten -Bogenst"ucks und $S_2<0$ die des zweiten. Dann gilt $S_1>S$. -Die f"ur die Bogen gew"ahlten Steigungen reichen also in diesem Fall -nicht aus. Je gr"o\3er \verbatimoff$|S_2|$ gew"ahlt wird, desto -gr"o\3ere Werte m"ussen also f"ur $S_1$ bereitgehalten werden. -\item{} -Dann gilt:\verbatimon -$$S_1={S\cdot h + 9\hbox{|\nhw|}\cdot -\verbatimoff|S_2|\over\verbatimon -9\hbox{|\nhw|}}$$\verbatimon -Da die H"ohen in den "ubrigen Zeichens"atzen als Vielfaches von -0.5|\nhh| gew"ahlt wurden, d.h. -da\3 $S\cdot h = j\cdot 0.5\hbox{|\nhh|}$ f"ur ein -$j\in\{1,\ldots,8\}$, gilt, falls eine solche Darstellung auch f"ur -\verbatimoff $|S_2|\cdot 9\verbatimon -\hbox{|\nhw|}=j^*\cdot0.5\hbox{|\nhh|}$ mit fest gew"ahltem -$j^*\in\nz$ -angenommen wird,\verbatimon -$$S_1={(j+j^*)\cdot 0.5\hbox{|\nhh|}\over 9\hbox{|\nhw|}}\,.$$ -Dies ergibt f"ur $S_1$ acht verschiedene Werte -$ht_j=j\cdot\hbox{|\nhh|}$, -$j\in\{j^*+1,\ldots,j^*+8\}$. \verbatimoff -Da der Wert f"ur $|S_2|$ noch mitgerechnet \verbatimon -werden mu\3, sind neun verschiedene Bogenst"ucke f"ur jeden Fall -notwendig (positiv, negativ, konvex, konkav). -\item{} -Die Auswahl der Steigungen ist also nur abh"angig von $j^*$ und nicht -von $h$. -Die vorliegenden Zeichens"atze wurden mit $j^*=2$ erzeugt. -Der Fall $S=0$ mu\3 als Sonderfall betrachtet werden, da in diesem Fall -$S_1=-S_2$ gelten mu\3. Die Wahl -$j^*=2$ erweist sich in diesem Fall jedoch als -zu flach. Aus diesem Grund werden f"ur $S=0$ Bogen mit $j=4$ -verwendet. -\endBemerkung -\subheading{Ausf"uhrung des Balken- und Bogensatzes} - -\subsubheading{Nachbarschaften} - -Das Setzen der Bogen und Balken ist in hohem Ma\3e abh"angig vom -Kontext, z.B. Bestimmung der Anfangs- und Endpunkte der Bogen, die -Richtung und L"ange der Notenh"alse. - -Im Unterschied zum Textsatz besteht hier die Notwendigkeit, -Notenschriftelemente, die auf eine solche Weise in Verbindung stehen, -d.h. nicht isoliert zu behandeln sind, gleichzeitig zu verarbeiten. - -Gomberg (\lit\gomb) hat f"ur Notenschriftelemente, die untereinander in -Beziehung stehen, indem sie gleichen horizontalen Raum beanspruchen, -den Begriff der \defi{Nachbarschaften} formuliert -(s.a. Kapitel \adchap2\XX). - -Anlehnend an diesen Begriff m"ochte ich Notenschriftelemente, die in -irgendeiner Weise (graphisch) miteinander verbunden sind, zu einer -Nachbarschaft zusammenfassen. Dazu geh"oren Notengruppen, die verbalkt -werden sollen, aber auch Notengruppen, die mit einem Bogen "uberspannt -werden sollen. Da sich diese Gruppen "uberschneiden k"onnen, sind -Nachbarschaften oft gr"o\3er als die einzelne Notengruppe. - -\Beispiel -{\hsize 10 cm -\loose -\advance\hsize2\iindent -\parindent2\iindent -\beginsong -\vio\Es \hskip20pt\group{\\{\a8}\\{\s3}\\{\s4}\\{\a5} -\\{\s5}\\{\s6}\\{\n7\a7}\\{\s{13}}\\{\s7}} -{\\{8}\\{3}\\{4}\\{5}\\{5}\\{6}\\{7}\\{13}\\{7}} -\def\beamlist{\\{1-3,}\\{2-3,}}\lbeam13% -\def\beamlist{\\{4-6,}\\{5-6,}}\lbeam46% -\def\beamlist{\\{7-9,}\\{8-9,}}\lbeam79\uslur24\uslur57\uslur89\go -\hfill\=% -\endsong} -\vskip-1cm -\endBeispiel - -\Bemerkung Da es in einer Nachbarschaft nicht m"oglich ist, eine Note -isoliert zu sehen, ist es auch nicht m"oglich, eine Nachbarschaft ohne -"au\3eres Einwirken (durch den Benutzer) zu trennen. -\item{} -In \TeX\ wird eine solche Nachbarschaft als Box aufgefa\3t, deren Glue -nicht mehr variabel ist. Enth"alt ein Musikst"uck gr"o\3ere -Nachbarschaften, wird es problematisch, geeignete Umbruchpunkte f"ur den -Zeilenumbruch zu finden. -\item{} -Das \TeX-Konzept f"ur Ausschlu\3 und Zeilenumbruch erweist sich also an -dieser Stelle als hinderlich. -\goodbreak -\subsubheading{Verarbeitung der Nachbarschaften}Zur Verarbeitung der -Nachbarschaften ist es notwendig, Informationen "uber die einzelnen -Nachbarschaftselemente zu verwalten, z.B. die Tonh"ohen der Noten, die -L"angen der Notenh"alse, den oberen und unteren Anfangs- und Endpunkt -f"ur Bogen. - -Eine Speicherung beliebig vieler gleichartiger Elemente, z.B. in -Vektoren, ist in \TeX\ nicht vorgesehen. Es ist jedoch m"oglich, mit -Hilfe von Kontrollsequenzen Listen aufzubauen (\lit\Knuth, \Texbook, -Anhang D.2). -Eine Liste von $n$ Informationen kann in der Form -\begindisplay -|\\{|\<item$_1$>|}\\{|\<item$_2$>|}| $\ldots$ |\\{|\<item$_n$>|}| -\enddisplay -kodiert werden, -wobei jedes \<item> eine wohlgeklammerte Tokenliste ist. - -Eine parameterlose Kontrollsequenz, z.B. |\liste|, deren Ersetzungstext -obige Form besitzt, hei\3t \defi{Listenmacro} (\tex{list macro}). -Das leere Listenmacro mit $n=0$ hei\3t |\empty|. Die einzelnen Elemente -werden durch |\\| getrennt. -Wird |\\| als Kontrollsequenz aufgefa\3t und als Makro -mit einem Argument definiert, so k"onnen -verschiedene Effekte erzielt werden, wenn es auf die -Liste angewendet wird. -\Beispiel -Mit |\def\\#1{\hbox{#1}}| -werden durch Aufruf von |\vbox{\liste}| alle Elemente von Liste -untereinander gesetzt. -\endBeispiel -Durch Umdefinieren von |\\| kann man auch auf die Elemente selber -einwirken. Sie k"onnen ausgetauscht werden, neue Elemente an- und -eingef"ugt oder alte gel"oscht werden. - -Solche Listen k"onnen also dazu benutzt werden, Informationen, die zur -Bearbeitung der Nachbarschaften notwendig sind, zu speichern. - -Die Bearbeitung der Nachbarschaften erfolgt in drei Teilschritten: -\item{1)}Die Initialisierung der ben"otigten Listen. -\item{2)}Die Berechnung der ben"otigten Balken und Bogen nach den in -\the\chap.1 und \the\chap.2 -beschriebenen Verfahren und das Einf"ugen der ent\-% -sprechenden Zeichensatzelemente in die Nachbarschaft. -\item{3)} Das endg"ultige Setzen der Nachbarschaft. - -\subsubsubheading{Die ben"otigten Listen} -Im folgenden sollen die ben"otigten Listen beschrieben werden. - -\item{1)}Als Anfangsinformation m"ussen folgende Listen gegeben sein. -Diese sind vom "Ubersetzungspro\-gramm -(\lit\Schofer) bereitzustellen: -\item{a)}Die Liste aller Elemente der Nachbarschaft (|\elementlist|). -\item{} -Normalerweise bestehen die Elemente aus jeweils einer Note mit, falls -vorhanden, zugeh"origem Vorzeichen und eventuellen Wertpunkten. -Des weiteren kann ein Element einen Akkord beinhalten oder -andere Notenschriftelemente wie z.B. Taktstriche, zu unterlegende Texte -oder Akzente. -\item{b)}Die Liste der Tonh"ohen der Noten der -Nachbarschaft (|\pitchlist|).\item{} -Das $i$-te Element der -|\pitchlist| enth"alt die jeweilige - Tonh"ohe des $i$-ten Elementes der |\elementlist|. - Bei Akkorden kann jedoch -nur die Tonh"ohe des Notenkopfes, der f"ur die Verbalkung -relevant ist, angegeben werden. Auch Taktstrichen kann eine Tonh"ohe -zugewiesen werden. So kann man vor einem Zeilenumbruch einen -Bogen "uber einem Taktstrich enden lassen. -\item{c)} Die Liste, die Informationen "uber die durch Balken zu -verbindenden Noten enth"alt (|\beamlist|). -\item{} -Die Zahl der Elemente gibt die Anzahl der Balkenreihen $r$ an und die -jeweiligen Elemente, -welche Noten in der Balkenreihe zu verbinden sind. -Wie in \XX \the\chap.1 -erw"ahnt, ist nicht allein aus den Notenwerten erkennbar, -welche Noten der Nachbarschaft miteinander verbunden werden m"ussen, da -die Noten -innerhalb der Balkengruppe noch weiter gruppiert werden m"ussen, -um die Betonungsverh"altnisse im Takt zu verdeutlichen. -\item{} -Aus diesem Grund enthalten die Elemente der Balkenlisten eine weitere -Liste, die angibt, welche Noten in der jeweiligen Balkenreihe -miteinander verbunden werden. -\item{} -Sei $l$ die Anzahl der Elemente einer solchen ``Unterliste'' und -seien die Elemente $n_1$ bis $n_2$ der Nachbarschaft zu verbalken. -Das $i$-te Element des Listenelementes ist dabei -von der Form: -$$\matrix\format\l&\r&\l\\\hbox{A:}\qquad& -k_{i_1}-k_{i_2},& \text{ wobei }k_{i_{1,2}}\in\{n_1,\ldots,n_2\} -\text{ und }k_{i_1}\leq k_{i_2}\,,\\ -\noalign{\text{ oder }} -\hbox{B:}\qquad&-k_{i_2},&\text{ wobei }k_{i_2} -\text{ wie oben und }k_{i_1} \text{ fehlt.} -\endmatrix$$ -\item{}F"ur die Folge -$(k_{i_1},k_{i_2}),i\in\{1,\ldots,l-1\}$ mu\3 gelten: -$$k_{i_1}<k_{(i+1)_1}\text{ und }k_{i_2}\leq k_{(i+1)_1}\,,\text{ falls -}k_{i_2}\text{ nicht fehlt.}$$ -\item{}Dabei bedeutet die Form: -{\iindent=40pt -\itemitem{$k_{i_1}-k_{i_2}$:} Verbalke das $k_{i_1}$-te bis -$k_{i_2}$-te Element der |\elementlist|, falls $k_{i_1}\ne k_{i_2}$, -sonst verbalke Element $k_{i_1}$ nach rechts. -\itemitem{$-k_{i_2}$:}Verbalke das $k_{i_2}$-te Element nach -links. -\par} -\item{}In beiden F"allen betr"agt die Breite des Balkens |\nhw|. - -\Beispiel(s. \the\chap.1.3) -\endBeispiel -\item{} -Es ist nach oben beschriebenem System nicht unbedingt notwendig, da\3 -die erste Balkenreihe durchgehend ist, d.h. von der Form $n_1-n_2$. - Dies ist kein -Fehler, sondern es erm"oglicht, ein Bild folgender Art zu erhalten: - -{\loose -\hsize7cm -\advance\hsize2\iindent -\parindent2\iindent -\beginsong -\vio\C -\def\beamlist{\\{1-4,5-8,}}% -\group{\\{\a{-2}}\\{\a{-1}}\\{\a0}\\{\a1}\\{\a2}\\{\a3}\\{\a4}\\{\a5}} -{\\{-2}\\{-1}\\{0}\\{1}\\{2}\\{3}\\{4}\\{5}}\ubeam18\go\=% -\endsong} -\vskip-1cm -\goodbreak -\item{2)}Zur Verarbeitung werden folgende Listen ben"otigt: -\item{}Da diese Listen Informationen "uber das jeweilige Element -der |\elementlist| speichern, mu\3 -die Anzahl der Listenelemente (Kardinalit"at) -mit der Anzahl der Elemente der |\elementlist| "ubereinstimmen. -\item{a)}Die Liste, die Informationen "uber die horizontale -Breite der Nachbarschaft und ihrer Elemente enth"alt (|\Hlist|). -\item{} -Das $i$-te Element enth"alt die Breite der Nachbarschaft -vom 1. bis $i$-ten Element einschlie\3lich, ohne da\3 am Ende -Glue angef"ugt wurde. Ist die $i$-te Note nicht punktiert, so schlie\3t -diese Nachbarschaft f"ur $d_i=+1$ mit dem Notenhals, f"ur -$d_i=-1$ mit dem Notenkopf ab. Der Abstand des Notenhalses zum -Ende dieser Notengruppe betr"agt also |\nhw|. -Ist die Note mit Wertpunkten versehen, -so erh"oht sich der Abstand um die Breite, die -die Punkte beanspruchen. Bei Akkorden mit aufsteigendem Notenhals -kann es vorkommen, da\3 die Nachbarschaft nicht mit dem Notenhals ab\-% -schlie\3t, falls ein Notenkopf auf der rechten Seite des Notenhalses -erscheint. Der Abstand betr"agt dann, falls keine Wertpunkte vorhanden -sind, |\nhw|. -\item{b)} Die Liste, die Informationen "uber die Abszissenwerte der -Notenh"alse liefert (|\Hcorlist|). -\item{} -Das $i$-te Element enth"alt als Korrektur den -horizontalen Abstand des Notenhalses des $i$-ten Elements zum -Ende einer Nachbarschaft, die mit diesem Element abschlie\3en w"urde. -Mit dieser Liste k"onnen die Wertpunkte sowie Akkorde -z.B. f"ur die Berechnung -der L"ange des Balkens ber"ucksichtigt werden. -\item{} -Das $i$-te Element enth"alt als Korrektur den -horizontalen Abstand des Notenhalses des $i$-ten Elements zum -Ende einer Nachbarschaft, die mit diesem Element abschlie\3en w"urde. -\item{c)} Die Liste, die Informationen "uber die Notenhalsl"angen der -zu verbalkenden Noten enth"alt (|\stemlist|). -\item{}Diese Liste wird zun"achst mit Null initialisiert und nur -ver"andert, falls eine Note zu verbalken ist. Es ist also eine Unter\-% -scheidung zwischen einzelstehenden Noten und Balkengruppen anhand dieser -Liste m"oglich. -\item{d)}Die Liste, die Informationen "uber die Richtung der -Notenh"alse in der Notengruppe enth"alt (|\dirlist|). -\item{} -Bei Verbalkung wird die eventuelle "Anderung der Notenhalsrichtung der -betroffenen Noten in dieser Liste vermerkt, soda\3 es m"oglich ist -einen Bogen "uber oder unter diesen Noten korrekt zu plazieren. -\item{e)}Die Listen, die die vertikalen Positionen der Bogenanfangs- -und Endpunkte oberhalb bzw. unterhalb der Noten enthalten -(|\uslurlist| und |\lslurlist|). -\item{}Die Listen sind so angelegt, da\3 ein Element -Informationstr"ager sowohl der Ordinaten des - Anfangs- als auch des Endpunktes -ist. Stimmen die Werte nicht "uberein, so wird dies durch einen Wert, -der betragsm"a\3ig gr"o\3er als 100\pt\ ist, angezeigt. -\item{} -Die Elemente erhalten nur von Null verschiedene Werte, falls der -Anfangs- bzw. Endpunkt nicht direkt am Notenkopf liegt. Andernfalls -werden sie abh"angig vom jeweiligen Wert der Tonh"ohenliste berechnet. - -Weitere Listen sind f"ur den einstimmigen Notensatz nicht erforderlich. -% - -\subsubsubheading{Die Initialisierung der Listen} - -Durch das Makro |\group| werden alle Listen, die nicht vorgegeben sind, -initialisiert.\par -Dies geschieht, indem die Nachbarschaftsliste (|\elementlist|) einmal -abgearbeitet, jedoch noch nicht gesetzt, sondern zun"achst -in einer Box akkumuliert wird. -Weiterhin wird das Z"ahler-Register |\N| mit der Anzahl -der Listenelemente der |\elementlist| belegt. - -\subsubsubheading{Das Setzen der Nachbarschaft} -Nachdem die Nachbarschaftsliste durch die Informationen "uber die zu -setzenden Balken und Bogen, Aufpunkt, L"ange und Steigung, erweitert -wurde, mu\3 sie ein zweites Mal abgearbeitet werden. -Dabei mu\3 ber"ucksichtigt werden, da\3 -der variable Glue der vorangegangenen Note vor der Nachbarschaft gesetzt -wird, um einen besseren Zeilenausschlu\3 zu erm"oglichen. Der -Glue innerhalb der Nachbarschaft mu\3 auf den nat"urlichen Abstand -fixiert werden, da die L"angen der Balken und Bogen nicht mehr ver"andert -werden k"onnen. -F"ur die Notenhalsl"ange wird im Falle, da\3 die Note verbalkt wird, -der Wert der |\stemlist| gew"ahlt; andernfalls wird sie anhand - der Funktion f"ur die Notenhalsl"ange neu berechnet. - -\vfill\eject |