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-rw-r--r--macros/mtex/documentation/mdoc9.tex1135
1 files changed, 0 insertions, 1135 deletions
diff --git a/macros/mtex/documentation/mdoc9.tex b/macros/mtex/documentation/mdoc9.tex
deleted file mode 100644
index d0ed715c54..0000000000
--- a/macros/mtex/documentation/mdoc9.tex
+++ /dev/null
@@ -1,1135 +0,0 @@
-\def\adchap#1{{\advance\chap#1{}\the\chap}}
-\heading{Der Balken- und Bogensatz}
-Im Gegensatz zu den bisher behandelten Notenschriftzeichen sind die
-Balken und Bogen satztechnisch dadurch ausgezeichnet, da\3 sie in der
-L"ange und Gestalt variieren k"onnen, so da\3 es nicht ausreicht, nur
-ein Element in einem Font f"ur den Satz zur Verf"ugung zu stellen. Die
-Neigung der Balken bzw. die Kr"ummung der Bogen ist abh"angig von den zu
-verbindenden bzw. zu "uberspannenden Noten.
-
-Au\3er den Faustregeln,
-da\3 aus der Neigung des Balkens der Melodieverlauf
-erkenntlich sein soll, um ein schnelleres Notenlesen zu erm"oglichen, und
-da\3 der
-Bogen von Notenkopf zu Notenkopf verlaufen sollte, jedoch andere
-Zeichen nicht schneiden darf, gibt es keine
-expliziten Regeln f"ur den Satz dieser Notenschriftelemente.
-
-\Beispiel
-{\loose
-\hsize10cm
-\advance\hsize2\iindent
-\parindent2\iindent
-\beginsong
-\vio\C
-\group{\\{\a0}\\{\a2}\\{\a4}}{\\{0}\\{2}\\{4}}\ubeam13\go
-\group{\\{\a4}\\{\a2}\\{\a0}}{\\{4}\\{2}\\{0}}\ubeam13\go
-\group{\\{\a4}\\{\a6}}{\\{4}\\{6}}\lbeam12\uslur12\go
-\group{\\{\a2}\\{\a4}}{\\{2}\\{4}}\ubeam12\lslur12\go
-\group{\\{\h4}\\{\h2}}{\\{4}\\{2}}\uslur12\go\doublebarline
-\endsong}
-\vskip-1cm
-\endBeispiel
-
-Alle anderen Satzregeln m"ussen daher aus der Notenliteratur abgeleitet
-werden. Es gilt also, Verfahren f"ur den automatischen Notensatz zu
-entwickeln, die den ansonsten nicht notwendig einheitlichen
-Handsatz so nachahmen, da\3 die Ergebnisse in den
-meisten F"allen mit dem Handgesetzten "ubereinstimmen.
-
-Die Verfahren f"ur den Balken- und Bogensatz gliedern sich in folgende
-Abschnitte:
-\item{1)} Berechnung der Steigung des Balkens bzw. der Sekantensteigung
-des Bogens,
-
-\item{2)} Diskretisierung der Steigungen und Zusammenstellung der
-Balken bzw. Bogen aus den Zei\-chen\-s"at\-zen,
-
-\item{3)} Endg"ultige Positionierung des Balkens bzw. Bogens.
-
-\Bemerkung Die hier vorgestellte Vorgehensweise ist durch die Tatsache
-bedingt, da\3 ein Textsatzprogramm verwendet wird und nicht
-koordinaten-orientiert gearbeitet wird. Das Zeichnen der Balken w"are
-im anderen Fall direkt und ohne Diskretisierung
- der berechneten Steigung
-ausf"uhrbar.
-\endBemerkung
-
-\subheading{Entwicklung des Verfahrens zur Verbalkung}
-Gesucht ist ein Verfahren zur \defi{Verbalkung} von Noten,
-d.h. ein Verfahren,
-das jede beliebige Folge von Noten $(N_i)_{i=1,\ldots,n}$ durch einen
-(oder mehrere) Balken verbindet, so da\3 der Aufpunkt $P$ und die
-Neigung $S$ der Balken dem Handgesetzten nahe kommt.
-
-Ein solches Verfahren gliedert sich in drei Teilschritte:
-
-\item{1)} Bestimmung der Balkensteigung.
-\item{2)} Anpassung der Notenh"alse.
-\item{3)} Bestimmung des Aufpunktes aller Balkenst"ucke der Notengruppe.
-
-\Bemerkung
-\item{1)}
-Die Anzahl der Balken an einer Note stimmt mit der Anzahl der dem
-Notenwert entsprechenden F"ahnchen (s. a. \the\chap.2.2) "uberein.
-Alle Balkensteigungen innerhalb einer Notengruppe stimmen mit
-der des "au\3ersten (d.h. des `Achtel'-Balkens) "uberein.
-\item{}Es gen"ugt also, nur eine Steigung f"ur die ganze Notengruppe zu
-berechnen.
-\item{2)} Die Lage der Balken (oberhalb oder unterhalb der Notenk"opfe)
-ist durch Regel N4b in \adchap{-1}.1 \XX festgelegt.
-Die gemeinsame Richtung der
-Notenh"alse kann zu jeder Folge von Noten bestimmt werden und sei
-o.B.d.A. vorgegeben.
-\item{3)} Die Balkensteigung ist nicht abh"angig von der absoluten
-Tonh"ohe der Noten, sondern von der Position der Noten im Liniensystem.
-Es gen"ugt also,
- die interne Tonh"ohe der betroffenen Noten zu betrachten.
-\endBemerkung
-
-\subsubheading{Bestimmung der Balkensteigung}
-F"ur die folgenden "Uberlegungen beschreibe $d\in\{-1,+1\}$ wie in
-\adchap{-1}.2.2
-die nach Regel N4c) bestimmte gemeinsame Richtung der Notenh"alse der
-Balkengruppe.
-
-\subsubsubheading{Das Vorzeichen der Steigung}
-Betrachtet man zun"achst zwei Noten $N_1$ und $N_2$ mit zugeh"origen
-internen Tonh"ohen $p_1$ und $p_2$,
-dann gilt unabh"angig von der gemeinsamen Richtung der Notenh"alse
-$d$ f"ur das
-Vorzeichen der Steigung $S$:
-$$\align \text{F"ur }p_1<p_2& \text{ gilt }S>0\;,\\
- \text{f"ur }p_1=p_2& \text{ gilt }S=0 \text { und }\\
- \text{f"ur }p_1>p_2& \text{ gilt }S<0 \;.\endalign%\tag{S$_1$}
- $$
-d.h. die Balkensteigung entspricht der Tendenz des Melodieverlaufs.
-
-\Beispiel
-{\loose
-\hsize10cm
-\advance\hsize2\iindent
-\parindent2\iindent
-\beginsong
-\vio\C
-\group{\\{\a2}\\{\a3}}{\\{2}\\{3}}\ubeam12\go
-\group{\\{\a3}\\{\a2}}{\\{3}\\{2}}\ubeam12\go
-\group{\\{\a3}\\{\a8}}{\\{3}\\{8}}\lbeam12\go
-\group{\\{\a6}\\{\a4}}{\\{6}\\{4}}\lbeam12\go
-\group{\\{\a4}\\{\a4}}{\\{4}\\{4}}\lbeam12\go
-\group{\\{\a3}\\{\a3}}{\\{3}\\{3}}\ubeam12\go
-\=\endsong}
-\vskip-1cm
-\endBeispiel
-
-Das Vorzeichen ist f"ur zwei beliebige Noten eindeutig festgelegt.
-
-Dies gilt jedoch nicht mehr unbedingt f"ur Notengruppen mit mehr
-Elementen. Man findet in der Literatur:
-
-{\loose
-\hsize8cm
-\advance\hsize2\iindent
-\parindent2\iindent
-\beginsong
-\vio\C
-\group{\\{\a0}\\{\a1}\\{\a2}\\{\a3}}{\\{0}\\{1}\\{2}\\{3}}\ubeam14\go
-\group{\\{\a2}\\{\a1}\\{\a0}}{\\{2}\\{1}\\{0}}\ubeam13\go
-\group{\\{\a4}\\{\a8}\\{\a4}}{\\{4}\\{8}\\{4}}\lbeam13\go\=%
-\endsong}
-\vskip-1cm
-
-Das Beispiel f"ur $p_1=p_n$ zeigt, da\3 hier die Steigung abh"angig von
-der Tonh"ohe der ersten
-und letzten Note bestimmt wurde.
-
-Untersucht man andere
-Notenkombinationen, so zeigt sich auch f"ur F"alle mit $p_1\ne p_n$,
-da\3 die Neigung nach der ersten
-und letzten Note bestimmt wurde.
-
-\Beispiel
-{\hsize 7cm
-\loose
-\advance\hsize2\iindent
-\parindent2\iindent
-\beginsong
-\vio\C
-\def\beamlist{\\{1-3,}\\{2-3,}}
-\group{\\{\a6}\\{\s8}\\{\s2}}{\\{6}\\{8}\\{2}}\lbeam13\go
-\def\beamlist{\\{1-\the\N,}}
-\group{\\{\a4}\\{\a{12}}\\{\a{10}}\\{\a8}}{\\{4}\\{12}\\{10}\\{8}}%
-\lbeam14\go\=%
-\endsong}
-\vskip-1cm
-\endBeispiel
-
-Allgemein gilt f"ur $n>2$:
-$$\align \text{F"ur }p_1<p_n&\text{ gilt }S\ge0\;,\\
- \text{f"ur }p_1=p_n&\text{ gilt }S=0 \text { und }\\
- \text{f"ur }p_1>p_n&\text{ gilt }S\le0 \;.\endalign%\tag{S$_2$}
- $$
-Dabei gilt $S=0$, falls f"ur ein $i\in\{2,\ldots,n-1\}$ gilt:
-$$\align &p_i\ge \max(p_1,p_n )\text{, falls }\quad d=1\;\\
-\text{oder }& p_i\le \min(p_1,p_n)\text{, falls }\quad
-d=-1\;.\endalign$$
-Gibt es also innerhalb einer Notengruppe, deren Notenh"alse nach oben
-gestielt sind, Noten, deren Tonh"ohe gr"o\3er oder gleich der Tonh"ohe
-der h"ohergelegenen ``Randnote'' ist, so wird der Balken nicht
-geneigt. Weisen alle Notenh"alse nach unten,
-so wird die jeweils tiefergelegene ``Randnote'' betrachtet.
-\Beispiel
-\par\noindent\vbox{\hsize 6cm
-\loose
-\advance\hsize2\iindent
-\parindent2\iindent
-\beginsong
-\vio\C
-\group{\\{\a4}\\{\a3}\\{\a5}}{\\{4}\\{3}\\{5}}\lbeam13\go
-\group{\\{\a0}\\{\a3}\\{\a3}}{\\{0}\\{3}\\{3}}\ubeam13\go\=%
-\endsong}
-\vskip-1cm
-\endBeispiel
-
-Das Vorzeichen der Steigung wird also
-nach der Konstellation der ersten und
-letzten Note der Balkengruppe bestimmt.
-
-\subsubsubheading{Der Betrag der Steigung}
-Sei im folgenden \folgi Nin eine Folge von Noten, f"ur die nach den
-obigen Bedingungen
-die Steigung $S$ nicht verschwindet.
-Um gr"o\3ere Steigungen zu vermeiden, wird der
-Betrag der Steigung nicht nach der
-Position der Notenk"opfe bestimmt wird, sondern bez"uglich der Endpunkte
-der Notenh"alse.
-
-Sei $E_i=(h_i,e_i)$ der Endpunkt des Notenhalses von $N_i$, wobei $h_i$
-den Abszissenwert des Notenhalses und $e_i:=\bar p_i+ d\cdot s^d(p_i)$
-den
-vertikalen Abstand von der Grundlinie angibt ($\bar p_i = p_i\cdot 0.5
-\verbatimon|\nhh|$).
-
-Aus diesen Werten kann allgemein die Steigung $S^*$ einer Geraden durch
-die Punkte $E_1$ und $E_n$ berechnet werden durch Bildung des
-Differenzenquotienten
-$$S^*=
-\Frac{e_n-e_1}{h_n-h_1}\;.$$
-Diese errechnete Steigung kann jedoch erst nach einigen weiteren
-Korrekturen der Notenh"alse als endg"ulti\-ge Steigung f"ur den Balken
-"ubernommen werden.
-\subsubsubheading{Die Korrektur der Notenhalsl"angen}
-Es sind zun"achst zwei verschiedene Korrekturen der Notenhalsl"angen
-m"oglich.
-\item{1)}
-Wegen
-$$\verbatimoff |s^d(p_1)-s^d(p_n)|\le|\bar p_1-\bar p_n|$$
-gilt immer:
-$$
-\align &e_n-e_1\ge0 \text{ f"ur }p_1<p_n\;\\
-\text{und }& e_n-e_1\le0\text{ f"ur }p_1>p_n\;.\endalign$$
-\item{}
-In einigen F"allen wird
-jedoch die strikte Positivit"at bzw. Negativit"at
-von $S^*$ nicht mehr gew"ahrleis\-tet.
-
-\Beispiel
-{\hsize 4cm
-\loose
-\advance\hsize2\iindent
-\parindent2\iindent
-\beginsong
-\vio\C
-\ \v{-4}\v{-3}\v{11}\v{13}\hfill\null
-\endsong}
-\vskip-1cm
-\endBeispiel
-
-\item{}
-In diesen F"allen m"ussen also die Notenhalsl"angen so korrigiert werden,
-da\3 die Bedingung f"ur das Vorzeichen der Steigung
- erf"ullt ist, und eine betragsm"a\3ig
-kleine Steigung
-die Tendenz der Notengruppe ausdr"uckt.
-
-\item{2)}Eine
-weitere Korrektur ergibt sich aus der Tatsache,
-da\3 Balken mit einer Steigung von mehr als
- $25^\circ $--$ 30^\circ$ geneigt sind, nicht
-verwendet werden, da sie das Gesamtbild optisch unruhig erscheinen
-lassen.
-Da die Steigung von der Differenz der Abszissenwerte der Notenh"alse
-abh"angig ist,
-tritt dies h"aufig auf bei Notenpaaren
-mit stark unterschiedlichen Tonh"ohen, z.B.
-
-{\hsize 4cm
-\advance\hsize2\iindent
-\parindent2\iindent
-\universal
-\beginsong
-\vio\C
-\hskip20pt\v{-3}\v{3} \hfill
-\endsong}
-\vskip-1cm\
-\item{}
-Die Korrektur sollte also dahin zielen, den Betrag der Balkensteigung so
-zu verkleinern, da\3 die h"ochstzul"assige Steigung angenommen wird.
-Dies kann auf zwei Arten geschehen:
-\itemitem{a)} Vergr"o\3ern des horizontalen Abstands, was aus den in
-Kapitel \adchap{-2}.1
-\XX angef"uhrten Gr"unden jedoch unzul"assig ist, und
-\itemitem{b)} Verkleinern des vertikalen Abstandes durch Ver"andern der
-Notenhalsl"angen.
-
-\item{}Auch in diesem Fall ist also eine Korrektur der Notenhalsl"angen
-erforderlich.
-
-Aus den Beipielen in der Notenliteratur ergibt sich, da\3
-die Korrektur der Notenhalsl"angen stets durch Verl"angern der
-entsprechenden Notenh"alse erfolgt, nie durch Verk"urzen.
-
-Die Verl"angerung der Notenh"alse ist nicht unabh"angig von der
-gemeinsamen Notenhalsrichtung $d$. Es gilt
-f"ur die zu den Noten $N_1$ und $N_n$ zugeh"origen Halsl"angen $s_1$ und
-$s_n$ f"ur die zuerst vorgestellte Korrekturm"oglichkeit:
-\verbatimon
-$$\align \text{Ist }d\cdot(p_1-p_n)>0&\text{, so gilt }
-s_1 =s^d(p_1)+0.5\hbox{|\nhh| und } s_n=s^d(p_n)\,,\\
- \text{und ist }d\cdot(p_1-p_n)<0&\text{, so gilt }
-s_n =s^d(p_n)+0.5\hbox{|\nhh| und } s_1=s^d(p_1)\;.\endalign$$
-Die zweite Korrektur wird wie folgt durchgef"uhrt:
-
-Sei $h:=h_n-h_1$ die Differenz der Abzissen der Notenh"alse
-und $\epsilon:=\sin\alpha$, wobei $\alpha$ den maximal zul"assigen
-Neigungswinkel angibt. Dann gilt
-$$\align \text{Ist }d\cdot(p_1-p_n)>0&\text{, so gilt }
-s_1 =s^d(p_1)+\verbatimoff (|e_n-e_1| -\epsilon \cdot h)
-\hbox{ und } s_n=s^d(p_n)\,,\\
- \text{und ist }d\cdot(p_1-p_n)<0&\text{, so gilt }
-s_n =s^d(p_n)+\verbatimoff (|e_n-e_1| -\epsilon \cdot h)
-\hbox{ und } s_1=s^d(p_1)\;.\endalign$$
-
-Die der Notengruppe zugeh"orige Balkensteigung $S$ lautet nun:
-$$S:=\Frac{(\bar p_n - \bar p_1) + d(s_n-s_1)}{h_n-h_1} $$
-
-\Beispiel
-\par
-\input mdocpic2
-\endBeispiel
-
-\subsubsubheading{Die Diskretisierung der Balkensteigung}
-Die Balkensteigung $S$ hat einen reellen Wertebereich, wenn man die oben
-angef"uhrte Definition anwendet
-($S\in\lbrack-\tan\alpha,\tan\alpha\rbrack\subset\rz$).
-
-Wie schon in
-\adchap{-4}.1.4 \XX angedeutet, bietet \TeX\ au\3er Rules keine
-M"oglichkeit, Linien zu setzen. Man w"urde also einen Balken beliebiger
-Steigung aus gen"ugend kleinen ausgef"ullten Rechtecken zusammensetzen
-m"ussen und dabei ein Optimierungsverfahren anwenden. Diese
-Vorgehensweise w"are sowohl im Satz als auch in der Ausgabe sehr
-zeitaufwendig und w"urde dennoch bei von Null verschiedenen Steigungen
-eine sichtbare Treppenstruktur ergeben.
-
-Es liegt daher nahe, die Balkensteigung zu diskretisieren und Balken
-dieser Steigungen in einem eigenen Zeichensatz zusammenzufassen.
-
-\Bemerkung
-\item{1)}Das folgende Verfahren ist nicht spezifisch f"ur das
-Textsatzsystem \TeX, sondern k"onnte auch f"ur andere Satzsysteme
-verwendet werden.
-\item{2)}
-Diese Vorgehensweise der Diskretisierung
-findet man auch beim Typendruckverfahren,
-das im wesentlichen zwei verschiedene Neigungen verwendet:
-steile und flache (s. \lit{\genzmeier, S.119}).
-
-\endBemerkung
-Es sollen hier jedoch feinere Unterschiede gemacht werden:
-\item{1)}Die Balkensteigung soll die errechnete m"oglichst realistisch
-wiedergeben.
-\item{2)}Die gr"o\3te Steigung entspricht $\tan\alpha$, wobei
-$\alpha$ den maximal zul"assigen Neigungswinkel angibt. (Es gilt z.B.
-$25^\circ\approx\arctan{\hbox{|\nhh|}\over\hbox{2|\nhw|}}=\arctan
-0.\overline{45}$, falls |\nhw|=1.1|\nhh|.)
-
-Gesucht ist eine Folge $0=m_0<m_1<\ldots<m_k\cong 0.45$, die die in
-der Notenliteratur erforderlichen Steigungen wiedergibt.
-(Als negative Steigungen ergeben sich dann $-m_i\;,\;i=0,\ldots,k$.)
-
-Als Schranke $\eta>0$ f"ur den absoluten Fehler wurde das Zweifache der
-Balkenst"arke gew"ahlt, so da\3 sich
-bei Rundung auf den n"achsten diskreten
-Steigungswert ein maximaler Fehler von $\eta/2$, d.h. der St"arke eines
-Balkens ($\approx$0.6|\nhh|), ergibt.
-Sei $\epsilon:=\max_{i=0,\ldots,k-1}\{m_{i+1}-m_i\}$, so gilt f"ur den
-absoluten Fehler:
-$$\verbatimoff |m_{i+1}-m_i|\cdot|h|<\eta\;.$$
-Die Wahl von $\epsilon$ ist also abh"angig von $|h|$.
-W"ahlt man acht verschiedene Steigungen, d.h. $k=8$, und als obere
-Schranke $m_8=0.45$, so erh"alt man f"ur
-$\epsilon=\Frac{0.45}8\cong0.056$ die gew"unschte Genauigkeit f"ur
-\verbatimoff
-$|h|=\verbatimon{\hbox{1.2|\nhh|}\over\dsize0.056}\cong21\hbox{|\nhh|}
-\cong20\hbox{|\nhw|}$.\verbatimon
-
-Diese Genauigkeit wird also bei einer Verbalkung von zehn Achtelnoten
-bei universellem Zeilenausschlu\3 (s. 5.1.1\XX) eingehalten. Dies ist
-ausreichend, da selten l"angere Balken ben"otigt werden. Bei einer
-Verbalkung von sechs Achtelnoten erreicht man eine Genauigkeit von
-$\eta/2$.
-Aus diesen Gr"unden wurde f"ur den Balkenzeichensatz der
-`Steigungssatz' $m_i=0.056\cdot i\,,$ $i=1,\ldots,8$ gew"ahlt.
-
-Die Anpassung der oben berechneten Steigung $S$ an die im Zeichensatz
-vorhandenen erfolgt f"ur
-\verbatimoff$|S|\ge m_1$ durch Runden auf den n"achsten diskreten
-Steigungswert $m_i$ mit $m_i\le |S|$ und
- f"ur $0<|S|<m_1$ durch
-Aufrunden auf $m_1$, damit die obigen Bedingungen f"ur das Vorzeichen der
-Steigung auch bei diskretisierter Steigung erf"ullt bleiben.
-
-\verbatimon
-Stellt man den Zeichensatz so zusammen, da\3 zu jeder Steigung
-Balkenst"ucke der Zeichenbreite $w_i:=\frac12\cdot 2^i\pt=2^{i-1}\pt$,
-$i\in\{0,\ldots,7\}$ existieren, so k"onnen Balken beliebiger L"ange auf
-$0.5\pt$ genau zusammengef"ugt werden, wobei die auf den Drucker
-zu "ubertragende Anzahl der Zeichen minimiert ist
-Der dazu erstellte Zeichensatz ist im Anhang D zu finden.
-
-\subsubheading{Die Anpassung der Notenhalsl"angen}
-Da der Balkenverlauf nur nach der ersten und letzten Note bestimmt
-wurde, aber die dazwischen liegenden Noten $N_2,\ldots,N_{n-1}$ beliebig
-sind, ist es notwendig, zun"achst die "ubrigen Notenhalsl"angen
-anzugleichen, abh"angig von den internen Tonh"ohen der inneren Noten
-eine dritte Korrektur aller Notenh"alse durchzuf"uhren und abh"angig
-von der Anzahl der zu setzenden Balkenreihen eventuell die Notenh"alse
-durch eine vierte Korrektur erneut zu verl"angern.
-
-\subsubsubheading{Das Angleichen der Notenh"alse}
-Ausgehend vom
-(eventuell korrigierten) Notenhalsendpunkt $E_1$ ist die L"ange des
-Notenhalses $s_i$ von $N_i$ der vertikale Abstand des Notenkopfes vom
-Balken. Es gilt:
-$$s_i:= s_1+d(\bar p_1 -\bar p_i + S\cdot (h_i-h_1))\;,$$
-wobei $S$ die angepa\3te diskretisierte Steigung ist und $d$ wiederum
-die gemeinsame Notenhalsrichtung beschreibt.
-
-\subsubsubheading{Die erste Verl"angerung der Notenh"alse}
-Sei $\bar s$ die minimal zul"assige Halsl"ange innerhalb einer
-Notengruppe. Dann sind zun"achst alle Halsl"angen der Gruppe um
-$$s^*:=\max_{1\le i\le n}(0,\bar s-s_i)$$
-zu verl"angern. Die Verl"angerung $s^*$ ist also nur positiv, falls f"ur
-mindestens ein $i$ gilt $s_i<\bar s$, andernfalls ist keine Korrektur
-notwendig.
-
-Die minimal zul"assige Halsl"ange ist wie folgt bestimmt:
-$$\bar s =\cases 2\hbox{|\nhh|}\,,&\text{falls
-}s^d(p_1)\le3\hbox{|\nhh|}\text{ oder }
-s^d(p_n)\le3\hbox{|\nhh|}\;,\\3\hbox{|\nhh|}\,,&\text{sonst.}\endcases$$
-Es gilt also $\bar s=2\hbox{|\nhh|}$ f"ur $p\ge6$, falls $d=+1$ und f"ur
-$p\le1$, falls $d=-1$.
-
-Diese (willk"urlich festgelegten) Werte f"ur $\bar s$ haben sich in der
-Praxis bew"ahrt.
-
-\Beispiel
-\par
-\input mdocpic3
-\endBeispiel
-
-\subsubsubheading{Die zweite Verl"angerung der Notenh"alse}
-Abh"angig von der Anzahl der Balkenreihen $r$ m"ussen die
-Notenhalsl"angen eventuell nochmals korrigiert werden um
-$$s^{**}:=\cases0\,,&\text{f"ur
-}r\le2\,,\\(r-2)\hbox{|\nhh|}\,,&\text{f"ur }r>2\,.\endcases$$
-Auch diese Werte sind heuristisch bestimmt.
-\par
-\subsubheading{%
-Bestimmung des Aufpunktes aller Balken der Notengruppe}
-Der Aufpunkt $P_{i,j}=(h_i,a_{i,j})\,,1\le i\le n$ und $1\le j\le r$,
-der einzelnen Balken der Notengruppe
-wird nun wie folgt bestimmt:
-$$a_{i,j} = \bar p_i + d\cdot s_i + d\cdot r\cdot\hbox{|\nhh|}\;.$$
-Dabei wird der Balken bis auf den Spezialfall eines ``Halbbalkens''
-immer rechts vom Notenhals positioniert. Gilt ein Balken nur f"ur
-eine Note, so wird er je nach Position der Note innerhalb der
-Notengruppe links oder rechts vom Notenhals plaziert, z.B immer links
-f"ur $N_n$ und immer rechts f"ur $N_1$. Innerhalb der Gruppe richtet
-sich die Position nach dem metrischen Gef"uge (s.\lit\ziegen). Ein
-solcher Balken hat immer als L"ange die H"ohe
-eines Notenkopfes.
-
-\Beispiel
-{\hsize 10cm
-\advance\hsize2\iindent
-\parindent2\iindent
-\loose
-\beginsong
-\vio\C
-\def\beamlist{\\{1-2,}\\{-2,}}
-\group{\\{\a6\.1}\\{\s6}}{\\{6}\\{6}}\lbeam12\go
-\def\beamlist{\\{1-2,}\\{1-1,}}
-\group{\\{\s6}\\{\a7\.1}}{\\{6}\\{7}}\lbeam12\go
-\def\beamlist{\\{1-4,}\\{-2,-4,}}
-\group{\\{\a7\.1}\\{\s8}\\{\a6\.1}%
-\\{\s7}}{\\{7}\\{8}\\{6}\\{7}}\lbeam14\go
-\def\beamlist{\\{1-4,}\\{1-1,3-3,}}
-\group{\\{\s7}\\{\a8\.1}\\{\s6}\\{\a7\.1}}
-{\\{7}\\{8}\\{6}\\{7}}\lbeam14\go
-\hfill\=%
-\endsong}
-\vskip-1cm
-\endBeispiel
-
-\subsubheading{Abschlie\3ende Bemerkungen zur Verbalkung}
-Das obige
-Verfahren zur Verbalkung l"a\3t sich auch f"ur Akkorde durchf"uhren,
-wenn f"ur die interne Tonh"ohe die am weitesten von der jeweiligen
-Bezugsnote entfernte Note zur Berechnung verwendet wird.
-
-\Beispiel
-{\hsize 4cm
-\advance\hsize2\iindent
-\parindent2\iindent
-\loose
-\beginsong
-\vio\C%
-\def\beamlist{\\{1-3,}\\{1-3,}}%
-\group{\\{\b7\rchord\a7\a{-1}\endchord}\\{\rchord\a{14}\a8\endchord}
-\\{\rchord\a{11}\a5\endchord}}{\\{-1}\\{8}\\{5}}\lbeam13\go\hfill
-\endsong}
-\vskip-1cm
-\endBeispiel
-
-\subheading{Entwicklung eines Verfahrens zur Phrasierung}
-
-Gesucht ist ein Verfahren zur \defi{Phrasierung}
-von Noten, d.h. ein Verfahren,
-das jede beliebige Folge von Noten \folgi Nin mit zugeh"origen
-Tonh"ohen \folgi pin, Notenhalsl"angen \folgi sin und
-Notenhalsrichtungen \folgi din mit einem Bogen "uberspannt.
-
-Wie bei der Verbalkung mu\3 zun"achst entschieden werden, ob der Bogen
-oberhalb oder unterhalb der Noten verl"auft. Verl"auft der Bogen
-oberhalb, so ist eine konkave Form zu w"ahlen, andernfalls
-eine konvexe Form.
-
-Als Grundregel gilt:
-
-\item{P1)}Bei einstimmiger Notation wird der Bogen von Notenkopf zu
-Notenkopf gef"uhrt, so da\3 die betroffenen Noten deutlich erkennbar
-sind, d.h. f"ur $d_1=d_n$ wird der Bogen
-unterhalb der Notenk"opfe gef"uhrt,
-falls $d_1=+1$, und oberhalb, falls $d_1=-1$.
-\item{}
-F"ur $d_1\ne d_n$ gibt es keine einheitliche Regelung, jedoch findet man
-meistens (vor allem in der Vokalmusik) die Regelung, da\3 der Bogen
-oberhalb
-der Notenk"opfe gef"uhrt wird, um nicht in Konflikt mit unterlegtem Text
-zu geraten.
-\item{P2)} Bei zwei- (oder mehr-)stimmiger Notation gilt jedoch
-allgemeing"ultig die Regelung, da\3 f"ur die Phrasierung der Oberstimme
-konkave Bogen und f"ur die Phrasierung der Unterstimme konvexe Bogen
-vorgeschrieben sind.
-
-\Beispiel
-{\universal
-\hsize 10 cm
-\advance\hsize2\iindent
-\parindent2\iindent
-\beginsong
-\vio\C
-\group{\\{\h5}\\{\h5}}{\\{5}\\{5}}\uslur12\go
-\group{\\{\h3}\\{\h3}}{\\{3}\\{3}}\lslur12\go
-\group{\\{\h4}\\{\h3}}{\\{4}\\{3}}\uslur12\go
-\group{\\{\h3}\\{\h4}}{\\{3}\\{4}}\uslur12\go
-\two{%
-\group{\\{\h3}\\{\h7}}{\\{3}\\{7}}\uslur12\go}
-{\group{\\{\h1}\\{\h4}}{\\{1}\\{4}}\lslur12\go}\=\endsong
-}\vskip-1cm
-\endBeispiel
-
-Der Bogen wird im Gegensatz zum Balken
-nicht dazu verwendet, den Melodieverlauf auszudr"ucken,
-sondern wird abh"angig vom zur Verf"ugung stehenden Freiraum
-positioniert, d.h. er darf innere Noten der Notengruppe nicht
-durchkreuzen.
-
-Beim Handnotensatz unterscheidet der Notensetzer Legato- und Haltebogen
-von Phrasierungsbogen.
-
-Legato- und Haltebogen sind k"urzer und meist schon als Stempel
-vorhanden, w"ahrend Phrasierungsbogen freier gestochen
-werden und l"anger sind.
-
-Legatobogen haben also f"ur eine bestimmte L"ange eine feste Kr"ummung,
-w"ahrend Phrasierungsbogen in der Form variieren k"onnen.
-
-Da \TeX\ nicht die graphischen M"oglichkeiten besitzt, Bogen zu
-zeichnen, mu\3te eine Algorithmus gefunden werden, der Bogen mit einer
-festen Kr"ummung bei gleicher Breite setzt.
-
-Berechnet man also die Sekantensteigungen des Bogens, so ist der
-zugeh"orige zu w"ahlende Bogen eindeutig bestimmt und in einem
-Zeichensatz speicherbar.
-
-Daher ist es f"ur das Setzen eines Bogens
-ausreichend, nur seine Sekantensteigung zu berechnen und
-diese zu diskretisieren.
-
-\subsubheading{Bestimmung des Anfangs- und Endpunktes des Bogens}
-
-O.B.d.A. seien im folgenden Noten durch einen konkaven Bogen zu
-"uberspannen. F"ur den konvexen Bogen lassen sich die "Uberlegungen
-analog durchf"uhren.
-
-Sei \folgi Nin eine Notengruppe. Seien
-\folgi pin die zugeh"origen Tonh"ohen und
-$\bar p_i:=p_i\cdot0.5\hbox{|\nhh|} $ wie oben.
-Seien \folgi din die Richtungen der Notenh"alse,
- \folgi sin die zugeh"origen Notenhalsl"angen und
- \folgi hin die Abszissenwerte der Notenh"alse.
-\Bemerkung O.B.d.A. sei $h_1:=0$. Gilt
-$d_i=0$ f"ur ein $i$, so besitzt
-die Note keinen Notenhals. In diesem Fall sei $h_i$
-der Abszissenwert des Notenkopfmittelpunktes.
-\endBemerkung
-Dann gilt f"ur den Anfangspunkt $A_i$ des Bogens f"ur Noten, die nicht
-mit aufw"arts gestielten Notenh"alsen verbalkt sind:
-$$\matrix\format\r&\l&\l\\
-\text{F"ur } &d_i=+1& \text{ gilt } A_i=(h_i+0.5\hbox{|\nhh|},
-\bar p_i+\hbox{|\nhh|})\,,\\
- \text{f"ur } &d_i=0&\text{ gilt } A_i=(h_i,
-\bar p_i+\hbox{|\nhh|})\,,\\
- \text{f"ur } &d_i=-1&\text{ gilt } A_i=(h_i+0.5\hbox{|\nhh|},
-\bar p_i+\hbox{|\nhh|})\,.\endmatrix$$
-Ist $N_i$ Element einer oberhalb der Notenk"opfe verbalkten Notengruppe,
-so ist eine weitere Fallunterscheidung notwendig. Falls $N_i$ nicht das
-\disp{letzte} Element der verbalkten Notengruppe ist, gilt:
-$A_i =(h_i,\bar p_i+s_i+0.5\hbox{|\nhh|})\;.$
-Dies gilt auch f"ur die letzte Note einer ``Balkengruppe'', falls die
-Note des Bogenendes auf die gleiche Weise verbalkt wurde, andernfalls
-gilt $A_i= (h_i+0.5\hbox{|\nhh|}, \bar p_i+\hbox{|\nhh|})$.
-
-F"ur den Endpunkt $E_i$ des Bogens f"ur Noten, die nicht
-mit aufw"arts gestielten Notenh"alsen verbalkt sind, gilt:
-$$\matrix\format\r&\l&\l\\
-\text{F"ur }& d_i=+1&\text{ gilt } E_i=(h_i-0.5\hbox{|\nhh|},
-\bar p_i+\hbox{|\nhh|})\,,\\
- \text{f"ur }& d_i=0&\text{ gilt } E_i=(h_i,
-\bar p_i+\hbox{|\nhh|})\,,\\
- \text{f"ur }&d_i=-1&\text{ gilt } E_i=(h_i+0.5\hbox{|\nhh|},
-\bar p_i+\hbox{|\nhh|})\,.\endmatrix$$
-Ist $N_i$ Element einer oberhalb der Notenk"opfe verbalkten Notengruppe,
-so ist wiederum
-eine Fallunterscheidung notwendig. Falls $N_i$ nicht das
-\disp{erste} Element der verbalkten Notengruppe ist, so ist
-$E_i =(h_i,\bar p_i+s_i+0.5\hbox{|\nhh|})\;.$
-Dies gilt auch f"ur die erste Note einer ``Balkengruppe'', falls die
-Note des Bogenendes auf die gleiche Weise verbalkt wurde, andernfalls
-ist $E_i= (h_i,\bar p_i+\hbox{|\nhh|})$.
-\verbatimoff
-\par
-\Beispiel
-\par
-{\hsize 16 cm\universal
-\parindent = 0pt
-\beginsong
-\vio\C%
-\group{\\{\h3}\\{\h3}}{\\{3}\\{3}}\uslur12\go
-\group{\\{\h3}\\{\g5}}{\\{3}\\{5}}\uslur12\go
-\group{\\{\h3}\\{\h4}}{\\{3}\\{4}}\uslur12\go\doublebarline
-\group{\\{\g4}\\{\h1}}{\\{4}\\{1}}\uslur12\go
-\group{\\{\g5}\\{\g5}}{\\{5}\\{5}}\uslur12\go
-\group{\\{\g5}\\{\h5}}{\\{5}\\{5}}\uslur12\go\doublebarline
-\group{\\{\h4}\\{\h3}}{\\{4}\\{3}}\uslur12\go
-\group{\\{\h5}\\{\g5}}{\\{5}\\{5}}\uslur12\go
-\group{\\{\h4}\\{\h8}}{\\{4}\\{8}}\uslur12\go\hfill\doublebarline
-\group{\\{\a3}\\{\a3}\\{\h6}}{\\{3}\\{3}\\{6}}\ubeam12\uslur13\go
-\group{\\{\a3}\\{\a3}\\{\h6}}{\\{3}\\{3}\\{6}}\ubeam12\uslur23\go
-\doublebarline
-\group{\\{\a3}\\{\a3}\\{\a3}\\{\a3}}{\\{3}\\{3}\\{3}\\{3}%
-}\ubeam12\ubeam34\uslur13\go\|%
-\group{\\{\a3}\\{\a3}\\{\a3}\\{\a3}}{\\{3}\\{3}\\{3}\\{3}%
-}\ubeam12\ubeam34\uslur23\go
-\=\endsong}
-\vskip-1cm
-\endBeispiel
-
-Wie bei der Verbalkung mu\3 in Extremf"allen die Sekantensteigung
- korrigiert werden. Dies geschieht wiederum nur durch Verschieben der
-Anfangs- bzw. Endpunkte in vertikaler Richtung, d.h. durch Ver"andern der
-Ordinaten.
-\verbatimon
-
-Im folgenden seien \folgi ain und \folgi ein die Ordinatenwerte der
-Punkte \folgi Ain{}bzw. \folgi Ein.
-Eine Korrektur wird (auch in der Notenliteratur) nur so durchgef"uhrt,
-da\3 die Sekantensteigung betragsm"a\3ig verkleinert wird, jedoch kein
-Vorzeichenwechsel auftritt.
-
-Da die
-Anfangs- und Endpunkte f"ur einen konkaven Bogen so gew"ahlt sind,
-da\3 der vertikale Abstand von der Grundlinie der minimal m"ogliche ist,
-kann die Korrektur nur durch Erh"ohen des Abstandes durchgef"uhrt werden.
-
-\item{1)}Zun"achst ist eine Korrektur notwendig,
-falls der Bogen, der die Noten zwischen $N_1$ und $N_n$ "uberspannen
-soll, die inneren Noten schneidet.
-Die Bogen der Notenliteratur "ahneln eher Parabelausschnitten als
-Kreisbogenausschnitten, wie man zun"achst vermuten w"urde. Um den
-Bogenverlauf m"oglichst genau nachzuahmen, wurde ein Parabelausschnitt
-gew"ahlt, der durch die beiden Endpunkte des Bogens und einen dritten
-Punkt eindeutig bestimmt ist. Dieser dritte Punkt ist durch einen
-Vektor, der senkrecht auf der Sekante steht, mit dem Sekantenmittelpunkt
-als Aufpunkt und einer L"ange, abh"angig von der Sekantenl"ange, gegeben.
-Als L"ange hat sich
-hierbei ein Sechstel der Sekantenl"ange bew"ahrt, soweit
-diese nicht den Betrag von |2\nhh| "uberschreitet.
-\par
-\item{}
-Da nur eine grobe Korrektur notwendig ist, gen"ugt es, den Bogen
-geeignet linear zu approximieren und zu "uberpr"ufen, ob die
-inneren Noten unterhalb einer solchen Geraden
-verlaufen.
-\item{}
-Die Gerade, die dies f"ur alle F"alle gew"ahrleistet, ist nat"urlich
-die Gerade durch die
-Sekante des Bogens. Dies f"uhrt jedoch f"ur die Noten,
-die sich unter der Sekantenmitte befinden, zu unbefriedigenden
-Ergebnissen.
- Da
-sich jedoch in unmittelbarer N"ahe der Bogenendpunkte keine
-inneren Noten befinden, kann eine Gerade gew"ahlt werden, die
-zur Sekante parallel verl"auft.
-Der Abstand zur Sekante ist
- abh"angig von der ``Auslenkung'' des
-Bogens und der Sekantensteigung.
-\item{}
-Sei $\epsilon$ der Abstand der beiden
-Geraden und
-$S$ die errechnete Sekantensteigung bzgl. $A_1$ und $E_n$.
-Dann ist
-$s^*=\max_{i=2,\ldots,n-1}\{0\,,\,(e_i-a_1+S\cdot h_i)-\epsilon\}$
-der Maximalwert, um den die Approximationsgerade "uberschritten wurde.
-Die Korrektur der Bogensteigung wird dann wie folgt durchgef"uhrt:
-gilt $a_1<e_n$, dann wird $a_1$ um $s^*$
-vergr"o\3ert.
-Falls $a_1+s^*>e_n$, wird so korrigiert, da\3 $S$ verschwindet, d.h.
-$e_n$ mu\3 um den Betrag $e_n-(a_1+s^*)$ vergr"o\3ert werden. F"ur
-$a_1>e_n$ wird zun"achst $e_n$ vergr"o\3ert. Falls dabei
-$S$ Null wird, ist zus"atzlich $a_1$ zu korrigieren.
-\medskip
-\input mdocpic4
-\medskip
-\centerline{{\eightrm Skizze zur Approximation des Bogens}}
-\item{2)}Eine weitere Korrektur mu\3 (nach der Diskretisierung
-(s. \the\chap.2.2\XX))
-durchgef"uhrt werden, falls die Steigung die f"ur die
-Zeichenbreite des Bogens zul"assige maximale Steigung "uberschreitet.
-\item{}
-Die Sekantensteigungen $S$ liegen im Intervall $(-1,1)\in\rz$, jedoch
-kommt es auch nur selten vor, da\3 \verbatimoff$S\cdot |h|>\verbatimon
-4\hbox{|\nhh|}$, d.h. die H"ohe des Zeilensystems "uberschreitet. Die
-maximal zul"assige Steigung ist also abh"angig von $h$ und kann
-beschrieben werden durch:
-\verbatimon
-$$\bar s(h)=\min(1,{4\hbox{|\nhh|}\over h})\;.$$
-Dann wird die Korrektur wiederum so durchgef"uhrt, da\3
-$a_1$ vergr"o\3ert wird, falls $a_1<e_n$,
-und $e_n$ vergr"o\3ert wird, falls $a_1>e_n$.
- Es gilt:
-$$a_{1,{\rm neu}}:=e_n-\bar s(h)\cdot h \quad\text{ bzw. }\quad
-e_{1,{\rm neu}}:=a_n-\bar s(h)\cdot h \;.$$
-
-\subsubheading{Diskretisierung der Sekantensteigung}
-Aus den gleichen Gr"unden wie bei der Verbalkung ist eine
-Diskretisierung der Sekantensteigung notwendig. Da die St"arke des
-Bogens jeweils zum Bogenende abnimmt, w"are es sehr zeitaufwendig, den
-Bogen aus Einzelst"ucken zusammenzusetzen.
-Zu jeder Breite und jeder Steigung m"u\3te also ein vollst"andiger Bogen
-bereitgehalten werden.
-
-Ber"ucksichtigt man folgende Gesichtspunkte, kann jedoch eine
-repr"asentative Auswahl getroffen werden.
-\item{1)}Da der Bogen die
-Notengruppe nur "uberspannen und nicht exakt zwischen zwei Notenh"alsen
-eingepa\3t werden mu\3, gen"ugt es, Bogen der Zeichenbreite $w=k\cdot
-\hbox{|\nhw|} \text { mit } k\in\nz^+$ bereitzuhalten.
-\item{2)}Der vertikale Abstand der Bogenendpunkte betr"agt (meistens)
-ein
-$m$-faches von 0.5|\nhh|, wobei als obere Grenze 4|\nhh|
-angesehen werden kann, d.h. $m\le8$.
-%
-\item{3)}Eine weitere Schranke ist $m\le2k$, da die Sekantensteigung
-kleiner als 1 sein sollte.
-\item{4)}Da jedoch nicht Bogen beliebiger
-L"ange bereitgehalten werden k"onnen, ist es entgegen obiger
-"Uberlegung doch notwendig, Bogen gr"o\3erer Breite aus Einzelst"ucken
-zusammenzusetzen. Dabei wird das Mittelst"uck durch eine Rule beliebiger
-L"ange ersetzt.
-
-Es ergeben sich aus den obigen Gesichtspunkten f"unf verschiedene
-Zeichens"atze:
-\item{1)}konkave Bogen positiver Sekantensteigungen ($\frac{ht}w$) mit
-Breiten $w = i\cdot\hbox{|\nhw|}\,,i\in\{1,\ldots,17\}$ und H"ohen
-$ht = j\cdot0.5\hbox{|\nhh|}\,,j\in\{1,\ldots,\min({2i,8})\}$.
-
-\item{2)}konkave Bogen negativer Sekantensteigungen ($\frac{dp}w$) mit
-Breiten $w = i\cdot\hbox{|\nhw|}\,,i\in\{1,\ldots,17\}$ und Tiefen
-$dp =-j\cdot0.5\hbox{|\nhh|}\,,j\in\{1,\ldots,\min({2i,8})\}$.
-
-\item{3)}konvexe Bogen positiver Sekantensteigungen ($\frac{ht}w$) mit
-Breiten $w$ und H"ohen $ht$ wie oben.
-\item{4)}konvexe Bogen negativer Sekantensteigungen ($\frac{dp}w$) mit
-Breiten $w$ und Tiefen $dp$ wie oben.
-\item{5)}konkave und konvexe Haltebogen ($j=0$) verschiedener Breite
-$w$ wie oben
-und konkave und konvexe Bogenst"ucke
-positiver und negativer Sekantensteigung konstanter Breite (%
-$w=9\hbox{|\nhw|}$).
-\Bemerkung
-\item{1)}Die Maximalbreite $w=17\hbox{|\nhw|}$ hat sich so ergeben, da\3
-die Zeichens"atze mit jeweils 124 Elementen belegt werden konnten.
-Vollst"andige Bogen einer gr"o\3eren Breite erschienen nicht sinnvoll,
-da sie selten vorkommen und viel Speicherplatz ben"otigen.
-\item{2)}
-Zur Wahl der Bogenst"ucke:
-\item{}Der Bogen wird aus drei Teilen zusammengesetzt und zwar werden je
-ein Bogenst"uck positiver Sekantensteigung und ein Bogenst"uck
-negativer Sekantensteigung, die jeweils konvex bzw. konkav sind, durch
-eine Rule beliebiger L"ange verbunden. Dabei k"onnen sich vier
-verschiedene Situationen ergeben:
-
-\Beispiel\vskip-1cm
-\begingroup
-\def\vt#1{{\offinterlineskip\vtop{\null\hbox{\slurfont\char\hex#1}\vss}%
-}}
-\def\vb#1{{\offinterlineskip\vbox{\vss\hbox{\slurfont\char\hex#1}\null}%
-}}
-\medskip
-\def\rulet{\vrule height 0pt depth 1pt width36pt}
-\def\ruleb{\vrule height 1pt depth 0pt width36pt}
-\baselineskip2cm
-\halign{\hskip\iindent#\hfil&\quad$\vcenter{#}$&\hskip\iindent#\hfil
-&\quad$\vcenter{#}$\cr
-a)&\hbox{\vt{28} \rulet\ \vt{30}}&b)&\hbox{\vt{20} \rulet\ \vt{38}}\cr
-c)&\hbox{\vb{40} \ruleb\ \vb{58}}&d)&\hbox{\vb{48} \ruleb\ \vb{50}}\cr}
-\endgroup
-\medskip
-\endBeispiel
-\item{}
-Die folgenden "Uberlegungen gelten f"ur die in Beispiel a)
-aufgef"uhrte Situation, k"onnen jedoch auch auf die anderen "ubertragen
-werden.
-\item{}
-Sei $S=\Frac{e_n-a_1}h={\dsize j\cdot0.5\hbox{|\nhh|}\over \dsize
-h}$, wobei
-$j\in\{0,\ldots,8\}$.
-O.B.d.A. gilt $e_n>a_1$. Sei $S_1>0$ die Sekantensteigung des ersten
-Bogenst"ucks und $S_2<0$ die des zweiten. Dann gilt $S_1>S$.
-Die f"ur die Bogen gew"ahlten Steigungen reichen also in diesem Fall
-nicht aus. Je gr"o\3er \verbatimoff$|S_2|$ gew"ahlt wird, desto
-gr"o\3ere Werte m"ussen also f"ur $S_1$ bereitgehalten werden.
-\item{}
-Dann gilt:\verbatimon
-$$S_1={S\cdot h + 9\hbox{|\nhw|}\cdot
-\verbatimoff|S_2|\over\verbatimon
-9\hbox{|\nhw|}}$$\verbatimon
-Da die H"ohen in den "ubrigen Zeichens"atzen als Vielfaches von
-0.5|\nhh| gew"ahlt wurden, d.h.
-da\3 $S\cdot h = j\cdot 0.5\hbox{|\nhh|}$ f"ur ein
-$j\in\{1,\ldots,8\}$, gilt, falls eine solche Darstellung auch f"ur
-\verbatimoff $|S_2|\cdot 9\verbatimon
-\hbox{|\nhw|}=j^*\cdot0.5\hbox{|\nhh|}$ mit fest gew"ahltem
-$j^*\in\nz$
-angenommen wird,\verbatimon
-$$S_1={(j+j^*)\cdot 0.5\hbox{|\nhh|}\over 9\hbox{|\nhw|}}\,.$$
-Dies ergibt f"ur $S_1$ acht verschiedene Werte
-$ht_j=j\cdot\hbox{|\nhh|}$,
-$j\in\{j^*+1,\ldots,j^*+8\}$. \verbatimoff
-Da der Wert f"ur $|S_2|$ noch mitgerechnet \verbatimon
-werden mu\3, sind neun verschiedene Bogenst"ucke f"ur jeden Fall
-notwendig (positiv, negativ, konvex, konkav).
-\item{}
-Die Auswahl der Steigungen ist also nur abh"angig von $j^*$ und nicht
-von $h$.
-Die vorliegenden Zeichens"atze wurden mit $j^*=2$ erzeugt.
-Der Fall $S=0$ mu\3 als Sonderfall betrachtet werden, da in diesem Fall
-$S_1=-S_2$ gelten mu\3. Die Wahl
-$j^*=2$ erweist sich in diesem Fall jedoch als
-zu flach. Aus diesem Grund werden f"ur $S=0$ Bogen mit $j=4$
-verwendet.
-\endBemerkung
-\subheading{Ausf"uhrung des Balken- und Bogensatzes}
-
-\subsubheading{Nachbarschaften}
-
-Das Setzen der Bogen und Balken ist in hohem Ma\3e abh"angig vom
-Kontext, z.B. Bestimmung der Anfangs- und Endpunkte der Bogen, die
-Richtung und L"ange der Notenh"alse.
-
-Im Unterschied zum Textsatz besteht hier die Notwendigkeit,
-Notenschriftelemente, die auf eine solche Weise in Verbindung stehen,
-d.h. nicht isoliert zu behandeln sind, gleichzeitig zu verarbeiten.
-
-Gomberg (\lit\gomb) hat f"ur Notenschriftelemente, die untereinander in
-Beziehung stehen, indem sie gleichen horizontalen Raum beanspruchen,
-den Begriff der \defi{Nachbarschaften} formuliert
-(s.a. Kapitel \adchap2\XX).
-
-Anlehnend an diesen Begriff m"ochte ich Notenschriftelemente, die in
-irgendeiner Weise (graphisch) miteinander verbunden sind, zu einer
-Nachbarschaft zusammenfassen. Dazu geh"oren Notengruppen, die verbalkt
-werden sollen, aber auch Notengruppen, die mit einem Bogen "uberspannt
-werden sollen. Da sich diese Gruppen "uberschneiden k"onnen, sind
-Nachbarschaften oft gr"o\3er als die einzelne Notengruppe.
-
-\Beispiel
-{\hsize 10 cm
-\loose
-\advance\hsize2\iindent
-\parindent2\iindent
-\beginsong
-\vio\Es \hskip20pt\group{\\{\a8}\\{\s3}\\{\s4}\\{\a5}
-\\{\s5}\\{\s6}\\{\n7\a7}\\{\s{13}}\\{\s7}}
-{\\{8}\\{3}\\{4}\\{5}\\{5}\\{6}\\{7}\\{13}\\{7}}
-\def\beamlist{\\{1-3,}\\{2-3,}}\lbeam13%
-\def\beamlist{\\{4-6,}\\{5-6,}}\lbeam46%
-\def\beamlist{\\{7-9,}\\{8-9,}}\lbeam79\uslur24\uslur57\uslur89\go
-\hfill\=%
-\endsong}
-\vskip-1cm
-\endBeispiel
-
-\Bemerkung Da es in einer Nachbarschaft nicht m"oglich ist, eine Note
-isoliert zu sehen, ist es auch nicht m"oglich, eine Nachbarschaft ohne
-"au\3eres Einwirken (durch den Benutzer) zu trennen.
-\item{}
-In \TeX\ wird eine solche Nachbarschaft als Box aufgefa\3t, deren Glue
-nicht mehr variabel ist. Enth"alt ein Musikst"uck gr"o\3ere
-Nachbarschaften, wird es problematisch, geeignete Umbruchpunkte f"ur den
-Zeilenumbruch zu finden.
-\item{}
-Das \TeX-Konzept f"ur Ausschlu\3 und Zeilenumbruch erweist sich also an
-dieser Stelle als hinderlich.
-\goodbreak
-\subsubheading{Verarbeitung der Nachbarschaften}Zur Verarbeitung der
-Nachbarschaften ist es notwendig, Informationen "uber die einzelnen
-Nachbarschaftselemente zu verwalten, z.B. die Tonh"ohen der Noten, die
-L"angen der Notenh"alse, den oberen und unteren Anfangs- und Endpunkt
-f"ur Bogen.
-
-Eine Speicherung beliebig vieler gleichartiger Elemente, z.B. in
-Vektoren, ist in \TeX\ nicht vorgesehen. Es ist jedoch m"oglich, mit
-Hilfe von Kontrollsequenzen Listen aufzubauen (\lit\Knuth, \Texbook,
-Anhang D.2).
-Eine Liste von $n$ Informationen kann in der Form
-\begindisplay
-|\\{|\<item$_1$>|}\\{|\<item$_2$>|}| $\ldots$ |\\{|\<item$_n$>|}|
-\enddisplay
-kodiert werden,
-wobei jedes \<item> eine wohlgeklammerte Tokenliste ist.
-
-Eine parameterlose Kontrollsequenz, z.B. |\liste|, deren Ersetzungstext
-obige Form besitzt, hei\3t \defi{Listenmacro} (\tex{list macro}).
-Das leere Listenmacro mit $n=0$ hei\3t |\empty|. Die einzelnen Elemente
-werden durch |\\| getrennt.
-Wird |\\| als Kontrollsequenz aufgefa\3t und als Makro
-mit einem Argument definiert, so k"onnen
-verschiedene Effekte erzielt werden, wenn es auf die
-Liste angewendet wird.
-\Beispiel
-Mit |\def\\#1{\hbox{#1}}|
-werden durch Aufruf von |\vbox{\liste}| alle Elemente von Liste
-untereinander gesetzt.
-\endBeispiel
-Durch Umdefinieren von |\\| kann man auch auf die Elemente selber
-einwirken. Sie k"onnen ausgetauscht werden, neue Elemente an- und
-eingef"ugt oder alte gel"oscht werden.
-
-Solche Listen k"onnen also dazu benutzt werden, Informationen, die zur
-Bearbeitung der Nachbarschaften notwendig sind, zu speichern.
-
-Die Bearbeitung der Nachbarschaften erfolgt in drei Teilschritten:
-\item{1)}Die Initialisierung der ben"otigten Listen.
-\item{2)}Die Berechnung der ben"otigten Balken und Bogen nach den in
-\the\chap.1 und \the\chap.2
-beschriebenen Verfahren und das Einf"ugen der ent\-%
-sprechenden Zeichensatzelemente in die Nachbarschaft.
-\item{3)} Das endg"ultige Setzen der Nachbarschaft.
-
-\subsubsubheading{Die ben"otigten Listen}
-Im folgenden sollen die ben"otigten Listen beschrieben werden.
-
-\item{1)}Als Anfangsinformation m"ussen folgende Listen gegeben sein.
-Diese sind vom "Ubersetzungspro\-gramm
-(\lit\Schofer) bereitzustellen:
-\item{a)}Die Liste aller Elemente der Nachbarschaft (|\elementlist|).
-\item{}
-Normalerweise bestehen die Elemente aus jeweils einer Note mit, falls
-vorhanden, zugeh"origem Vorzeichen und eventuellen Wertpunkten.
-Des weiteren kann ein Element einen Akkord beinhalten oder
-andere Notenschriftelemente wie z.B. Taktstriche, zu unterlegende Texte
-oder Akzente.
-\item{b)}Die Liste der Tonh"ohen der Noten der
-Nachbarschaft (|\pitchlist|).\item{}
-Das $i$-te Element der
-|\pitchlist| enth"alt die jeweilige
- Tonh"ohe des $i$-ten Elementes der |\elementlist|.
- Bei Akkorden kann jedoch
-nur die Tonh"ohe des Notenkopfes, der f"ur die Verbalkung
-relevant ist, angegeben werden. Auch Taktstrichen kann eine Tonh"ohe
-zugewiesen werden. So kann man vor einem Zeilenumbruch einen
-Bogen "uber einem Taktstrich enden lassen.
-\item{c)} Die Liste, die Informationen "uber die durch Balken zu
-verbindenden Noten enth"alt (|\beamlist|).
-\item{}
-Die Zahl der Elemente gibt die Anzahl der Balkenreihen $r$ an und die
-jeweiligen Elemente,
-welche Noten in der Balkenreihe zu verbinden sind.
-Wie in \XX \the\chap.1
-erw"ahnt, ist nicht allein aus den Notenwerten erkennbar,
-welche Noten der Nachbarschaft miteinander verbunden werden m"ussen, da
-die Noten
-innerhalb der Balkengruppe noch weiter gruppiert werden m"ussen,
-um die Betonungsverh"altnisse im Takt zu verdeutlichen.
-\item{}
-Aus diesem Grund enthalten die Elemente der Balkenlisten eine weitere
-Liste, die angibt, welche Noten in der jeweiligen Balkenreihe
-miteinander verbunden werden.
-\item{}
-Sei $l$ die Anzahl der Elemente einer solchen ``Unterliste'' und
-seien die Elemente $n_1$ bis $n_2$ der Nachbarschaft zu verbalken.
-Das $i$-te Element des Listenelementes ist dabei
-von der Form:
-$$\matrix\format\l&\r&\l\\\hbox{A:}\qquad&
-k_{i_1}-k_{i_2},& \text{ wobei }k_{i_{1,2}}\in\{n_1,\ldots,n_2\}
-\text{ und }k_{i_1}\leq k_{i_2}\,,\\
-\noalign{\text{ oder }}
-\hbox{B:}\qquad&-k_{i_2},&\text{ wobei }k_{i_2}
-\text{ wie oben und }k_{i_1} \text{ fehlt.}
-\endmatrix$$
-\item{}F"ur die Folge
-$(k_{i_1},k_{i_2}),i\in\{1,\ldots,l-1\}$ mu\3 gelten:
-$$k_{i_1}<k_{(i+1)_1}\text{ und }k_{i_2}\leq k_{(i+1)_1}\,,\text{ falls
-}k_{i_2}\text{ nicht fehlt.}$$
-\item{}Dabei bedeutet die Form:
-{\iindent=40pt
-\itemitem{$k_{i_1}-k_{i_2}$:} Verbalke das $k_{i_1}$-te bis
-$k_{i_2}$-te Element der |\elementlist|, falls $k_{i_1}\ne k_{i_2}$,
-sonst verbalke Element $k_{i_1}$ nach rechts.
-\itemitem{$-k_{i_2}$:}Verbalke das $k_{i_2}$-te Element nach
-links.
-\par}
-\item{}In beiden F"allen betr"agt die Breite des Balkens |\nhw|.
-
-\Beispiel(s. \the\chap.1.3)
-\endBeispiel
-\item{}
-Es ist nach oben beschriebenem System nicht unbedingt notwendig, da\3
-die erste Balkenreihe durchgehend ist, d.h. von der Form $n_1-n_2$.
- Dies ist kein
-Fehler, sondern es erm"oglicht, ein Bild folgender Art zu erhalten:
-
-{\loose
-\hsize7cm
-\advance\hsize2\iindent
-\parindent2\iindent
-\beginsong
-\vio\C
-\def\beamlist{\\{1-4,5-8,}}%
-\group{\\{\a{-2}}\\{\a{-1}}\\{\a0}\\{\a1}\\{\a2}\\{\a3}\\{\a4}\\{\a5}}
-{\\{-2}\\{-1}\\{0}\\{1}\\{2}\\{3}\\{4}\\{5}}\ubeam18\go\=%
-\endsong}
-\vskip-1cm
-\goodbreak
-\item{2)}Zur Verarbeitung werden folgende Listen ben"otigt:
-\item{}Da diese Listen Informationen "uber das jeweilige Element
-der |\elementlist| speichern, mu\3
-die Anzahl der Listenelemente (Kardinalit"at)
-mit der Anzahl der Elemente der |\elementlist| "ubereinstimmen.
-\item{a)}Die Liste, die Informationen "uber die horizontale
-Breite der Nachbarschaft und ihrer Elemente enth"alt (|\Hlist|).
-\item{}
-Das $i$-te Element enth"alt die Breite der Nachbarschaft
-vom 1. bis $i$-ten Element einschlie\3lich, ohne da\3 am Ende
-Glue angef"ugt wurde. Ist die $i$-te Note nicht punktiert, so schlie\3t
-diese Nachbarschaft f"ur $d_i=+1$ mit dem Notenhals, f"ur
-$d_i=-1$ mit dem Notenkopf ab. Der Abstand des Notenhalses zum
-Ende dieser Notengruppe betr"agt also |\nhw|.
-Ist die Note mit Wertpunkten versehen,
-so erh"oht sich der Abstand um die Breite, die
-die Punkte beanspruchen. Bei Akkorden mit aufsteigendem Notenhals
-kann es vorkommen, da\3 die Nachbarschaft nicht mit dem Notenhals ab\-%
-schlie\3t, falls ein Notenkopf auf der rechten Seite des Notenhalses
-erscheint. Der Abstand betr"agt dann, falls keine Wertpunkte vorhanden
-sind, |\nhw|.
-\item{b)} Die Liste, die Informationen "uber die Abszissenwerte der
-Notenh"alse liefert (|\Hcorlist|).
-\item{}
-Das $i$-te Element enth"alt als Korrektur den
-horizontalen Abstand des Notenhalses des $i$-ten Elements zum
-Ende einer Nachbarschaft, die mit diesem Element abschlie\3en w"urde.
-Mit dieser Liste k"onnen die Wertpunkte sowie Akkorde
-z.B. f"ur die Berechnung
-der L"ange des Balkens ber"ucksichtigt werden.
-\item{}
-Das $i$-te Element enth"alt als Korrektur den
-horizontalen Abstand des Notenhalses des $i$-ten Elements zum
-Ende einer Nachbarschaft, die mit diesem Element abschlie\3en w"urde.
-\item{c)} Die Liste, die Informationen "uber die Notenhalsl"angen der
-zu verbalkenden Noten enth"alt (|\stemlist|).
-\item{}Diese Liste wird zun"achst mit Null initialisiert und nur
-ver"andert, falls eine Note zu verbalken ist. Es ist also eine Unter\-%
-scheidung zwischen einzelstehenden Noten und Balkengruppen anhand dieser
-Liste m"oglich.
-\item{d)}Die Liste, die Informationen "uber die Richtung der
-Notenh"alse in der Notengruppe enth"alt (|\dirlist|).
-\item{}
-Bei Verbalkung wird die eventuelle "Anderung der Notenhalsrichtung der
-betroffenen Noten in dieser Liste vermerkt, soda\3 es m"oglich ist
-einen Bogen "uber oder unter diesen Noten korrekt zu plazieren.
-\item{e)}Die Listen, die die vertikalen Positionen der Bogenanfangs-
-und Endpunkte oberhalb bzw. unterhalb der Noten enthalten
-(|\uslurlist| und |\lslurlist|).
-\item{}Die Listen sind so angelegt, da\3 ein Element
-Informationstr"ager sowohl der Ordinaten des
- Anfangs- als auch des Endpunktes
-ist. Stimmen die Werte nicht "uberein, so wird dies durch einen Wert,
-der betragsm"a\3ig gr"o\3er als 100\pt\ ist, angezeigt.
-\item{}
-Die Elemente erhalten nur von Null verschiedene Werte, falls der
-Anfangs- bzw. Endpunkt nicht direkt am Notenkopf liegt. Andernfalls
-werden sie abh"angig vom jeweiligen Wert der Tonh"ohenliste berechnet.
-
-Weitere Listen sind f"ur den einstimmigen Notensatz nicht erforderlich.
-%
-
-\subsubsubheading{Die Initialisierung der Listen}
-
-Durch das Makro |\group| werden alle Listen, die nicht vorgegeben sind,
-initialisiert.\par
-Dies geschieht, indem die Nachbarschaftsliste (|\elementlist|) einmal
-abgearbeitet, jedoch noch nicht gesetzt, sondern zun"achst
-in einer Box akkumuliert wird.
-Weiterhin wird das Z"ahler-Register |\N| mit der Anzahl
-der Listenelemente der |\elementlist| belegt.
-
-\subsubsubheading{Das Setzen der Nachbarschaft}
-Nachdem die Nachbarschaftsliste durch die Informationen "uber die zu
-setzenden Balken und Bogen, Aufpunkt, L"ange und Steigung, erweitert
-wurde, mu\3 sie ein zweites Mal abgearbeitet werden.
-Dabei mu\3 ber"ucksichtigt werden, da\3
-der variable Glue der vorangegangenen Note vor der Nachbarschaft gesetzt
-wird, um einen besseren Zeilenausschlu\3 zu erm"oglichen. Der
-Glue innerhalb der Nachbarschaft mu\3 auf den nat"urlichen Abstand
-fixiert werden, da die L"angen der Balken und Bogen nicht mehr ver"andert
-werden k"onnen.
-F"ur die Notenhalsl"ange wird im Falle, da\3 die Note verbalkt wird,
-der Wert der |\stemlist| gew"ahlt; andernfalls wird sie anhand
- der Funktion f"ur die Notenhalsl"ange neu berechnet.
-
-\vfill\eject