summaryrefslogtreecommitdiff
path: root/macros/latex/contrib/fontsetup/doc/fspsample.tex
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat (limited to 'macros/latex/contrib/fontsetup/doc/fspsample.tex')
-rw-r--r--macros/latex/contrib/fontsetup/doc/fspsample.tex27
1 files changed, 15 insertions, 12 deletions
diff --git a/macros/latex/contrib/fontsetup/doc/fspsample.tex b/macros/latex/contrib/fontsetup/doc/fspsample.tex
index b978369854..5a8f9f0463 100644
--- a/macros/latex/contrib/fontsetup/doc/fspsample.tex
+++ b/macros/latex/contrib/fontsetup/doc/fspsample.tex
@@ -1,3 +1,6 @@
+%% after xelatex run
+%% pdfcrop fspsample.pdf output.pdf
+%% to crop it
\documentclass{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage{xgreek,graphicx}
@@ -24,7 +27,7 @@
%\usepackage[minion]{fontsetup}
%\usepackage[neoeuler]{fontsetup}
%\usepackage[libertinus]{fontsetup}
-
+%\usepackage[olddefault]{fontsetup}
@@ -38,21 +41,21 @@
%Let $g$ be an
Assume that $g$ is an
in\-te\-grable func\-tion defined on the measurable set $E$ and hat
- $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ is a sequence of mea\-sur\-able function so that
- $|f_n|\leq g$. If $f$ is a function so that $f_n\to f$ almost everywhere
+ $(\,f_n)_{n\in\mathbb N}$ is a sequence of mea\-sur\-able function so that
+ $|\,f_n|\leq g$. If $f$ is a function so that $f_n\to f$ almost everywhere
then $$\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int f.$$
\end{theorem}
\textit{Proof}: The function $g-f_n$ is non-negative and thus from Fatou lemma
-we have that $\int(g-f)\leq\liminf\int(g-f_n)$. Since $|f|\leq g$ and
-$|f_n|\leq g$ the functions $f$ and $f_n$ are integrable and we have
-$$\int g-\int f\leq \int g-\limsup\int f_n,$$ so
-$$\int f\geq \limsup \int f_n.$$
+we have that $\int(g-f\,)\leq\liminf\int(g-f_n)$. Since $|\,f\,|\leq g$ and
+$|\,f_n|\leq g$ the functions $f$ and $f_n$ are integrable and we have
+$$\int g-\int f\,\leq \int g-\limsup\int f_n,$$ so
+$$\int f\,\geq \limsup \int f_n.$$
\par
\begin{theoremg}[Κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue]
Έστω ότι
η $g$ είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση ορισμένη στο μετρήσιμο σύνολο
-$E$ και η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ είναι μια ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων ώστε
-$|f_n| ≤ g$. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση $f$
+$E$ και η $(\,f_n)_{n\in\mathbb N}$ είναι μια ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων ώστε
+$|\,f_n| ≤ g$. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση $f$
ώστε η $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ να
τείνει στην $f$ σχεδόν παντού. Τότε
$$\lim \int f_n =\int f.$$
@@ -60,10 +63,10 @@ $$\lim \int f_n =\int f.$$
\textit{Απόδειξη}: Η συνάρτηση $g − f_n$ είναι μη αρνητική και άρα από
το Λήμμα του Fatou ισχύει
$\int (f-g) ≤ \liminf \int (g-f_n)$. Επειδή
-$|f| ≤ g$ και $|f_n| ≤g$ οι $f$ και $f_n$ είναι ολοκληρώσιμες, έχουμε
-$$\int g −\int f ≤ \int g − \limsup\int f_n,$$
+$|\,f\,| ≤ g$ και $|\,f_n| ≤g$ οι $f$ και $f_n$ είναι ολοκληρώσιμες, έχουμε
+$$\int g −\int f\, ≤ \int g − \limsup\int f_n,$$
άρα
-$$\int f\geq \limsup \int f_n.$$
+$$\int f\,\geq \limsup \int f_n.$$